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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知椭圆的一个焦点为,离心率为

(1)求椭圆的标准方程;

(2)若动点为椭圆外一点,且点到椭圆的两条切线相互垂直,求点的轨迹方程。

正确答案

见解析。

解析

知识点

由递推关系式求数列的通项公式
1
题型: 单选题
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单选题 · 5  分

,则的最小值是

A1

B2

C3

D4

正确答案

D

解析

≥2+2=4

当且仅当ab=1,a(a-b)=1时等号成立

如取a=,b=满足条件.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式
1
题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知{an}是等差数列,其前n项和为Sn,{bn}是等比数列,且a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10。

(1)求数列{an}与{bn}的通项公式;

(2)记Tn=a1b1+a2b2+…+anbn,n∈N*,证明Tn-8=an-1bn+1(n∈N*,n>2)。

正确答案

(1) an=3n-1,bn=2n,n∈N*,;(2)略

解析

(1)设等差数列{an}的公差为d,等比数列{bn}的公比为q,由a1=b1=2,得a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d。

由条件,得方程组解得

所以an=3n-1,bn=2n,n∈N*

(2证明:由(1)得

Tn=2×2+5×22+8×23+…+(3n-1)×2n,①

2Tn=2×22+5×23+…+(3n-4)×2n+(3n-1)×2n+1。②

由①-②,得

-Tn=2×2+3×22+3×23+…+3×2n-(3n-1)×2n+1

-(3n-1)×2n+1-2=-(3n-4)×2n+1-8,

即Tn-8=(3n-4)×2n+1

而当n>2时,an-1bn+1=(3n-4)×2n+1

所以,Tn-8=an-1bn+1,n∈N*,n>2

知识点

由递推关系式求数列的通项公式
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列中的

(1) 求数列的通项公式;

(2) 数列的前n项和为,求证:数列是等比数列。

正确答案

见解析

解析

(1)设成等差数列的三个正数分别为.

依题意,得,解得.

所以数列中的依次为.

依题意,有,解得,或(舍去).

故数列的第三项为5,公比为2.

,得,解得.

所以数列是以为首项,2为公比的等比数列,其通项公式为.

(2)数列是前项和,即.

所以.

因此,数列是以为首项,2为公比的等比数列

知识点

由递推关系式求数列的通项公式
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

数列{}满足,则{}的前60项和为(      )

A3690

B3660

C1845

D1830

正确答案

D

解析

法1有题设知

=1,①    =3  ②      =5  ③     =7,=9,

=11,=13,=15,=17,=19,

……

∴②-①得=2,③+②得=8,同理可得=2,=24,=2,=40,…,

,…,是各项均为2的常数列,,…是首项为8,公差为16的等差数列,

∴{}的前60项和为=1830.

法2可证明:

知识点

由递推关系式求数列的通项公式
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

设各项为正数的数列的前和为,且满足。

(1)求的值;

(2)求数列的通项公式;

(3)证明:对一切正整数,有

正确答案

见解析。

解析

知识点

由递推关系式求数列的通项公式
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

数列{an}满足an+1=,a8=2,则a1=  。

正确答案

 

解析

解析:由题意得,an+1=,a8=2,令n=7代入上式得,a8=,解得a7=

令n=6代入得,a7=,解得a6=﹣1;令n=5代入得,a6=,解得a5=2;

根据以上结果发现,求得结果按2,,﹣1循环,∵8÷3=2…2,故a1=

知识点

由递推关系式求数列的通项公式
1
题型: 单选题
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单选题 · 5 分

设集合U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},则UM=(  )

AU

B{1,3,5}

C{3,5,6}

D{2,4,6}

正确答案

C

解析

∵U={1,2,3,4,5,6},M={1,2,4},

UM={3,5,6}。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式
1
题型: 单选题
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单选题 · 5       分

垂直于直线且与圆相切于第一象限的直线方程是

A

B

C

D

正确答案

A

解析

设所求直线为,因为垂直直线,故的斜率为,设直线的方程为,化为一般式为;因为与圆相切相切,所以圆心到直线的距离,所以,又因为相切与第一象限,所以,故,所以的方程为

知识点

由递推关系式求数列的通项公式
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题型:填空题
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填空题 · 5 分

观察下列等式

照此规律,第五个等式应为__________________.

正确答案

81

解析

把已知等式与行数对应起来,则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数,加数的个数是;等式右边都是完全平方数,

则第5行等号的左边有9项,右边是9的平方,所以

知识点

由递推关系式求数列的通项公式
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