- 由递推关系式求数列的通项公式
- 共97题
已知数列,满足
,且当
(
)时,
.令
。
(1)写出的所有可能取值;
(2)求的最大值.
正确答案
(1),
,
,
,
(2)
解析
(1)由题设,满足条件的数列的所有可能情况有:
1)此时
;
2)此时
;
3)此时
;
4)此时
;
5)此时
;
6)此时
.
所以,的所有可能取值为:
,
,
,
,
。 .………5分
(2)由,可设
,则
或
(
,
),
,
,
…
,
所以。………7分
因为,所以
,且
为奇数,
是由
个1和
个
构成的数列。
所以
。
则当的前
项取
,后
项取
时
最大,
此时。.……10分
证明如下:
假设的前
项中恰有
项
取
,则
的后
项中恰有
项
取
,其中
,
,
,
。
所以
。
所以的最大值为
。 .………13分
知识点
已知数列对任意的
满足:
,则称
为“Z数列”。
(1)求证:任何的等差数列不可能是“Z数列”;
(2)若正数列,数列
是“Z数列”,数列
是否可能是等比数列,说明理由,构造一个数列
,使得
是“Z数列”;
(3)若数列是“Z数列”,设
求证
正确答案
见解析
解析
解析:(1)设等差数列的首项
,公差
,
3分
所以任何的等差数列不可能是“Z数列” 4分
或者根据等差数列的性质: 3分
所以任何的等差数列不可能是“Z数列” 4分
(2)假设是等比数列,则
是“Z数列”,所以
6分
,所以
不可能是等比数列, 7分
等比数列只要首项
公比
11分
其他的也可以: 11分
等比数列的首项
,公比
,通项公式
恒成立,
补充说明:分析:,
根据几何意义只要的一阶导函数单调递减就可以
(3)因为
,
,
,……,
12分
同理:
13分
因为数列满足对任意的
所以 14分
16分
知识点
已知数列是等差数列,且满足:
,
;数列
满足:
。
(1)求和
;
(2)记数列,若
的前
项和为
,求证
。
正确答案
见解析。
解析
(1)因为,
,所以
,所以
;
又,所以,
得,所以
。
(2)因为,所以
而,所以
。
知识点
定义数列,如果存在常数
,使对任意正整数
,总有
成立,那么我们称数列
为“
摆动数列”。
(1)设,
,
,判断
、
是否为“
摆动数列”,并说明理由;
(2)设数列为“
摆动数列”,
,求证:对任意正整数
,总有
成立。
(3)设数列的前
项和为
,且
,试问:数列
是否为“
摆动数列”,若是,求出
的取值范围;若不是,说明理由。
正确答案
见解析
解析
解析:假设数列是“
摆动数列”,
即存在常数,总有
对任意
成立,
不妨取时则
,取
时则
,显然常数
不存在,
所以数列不是“
摆动数列”;……………………2分
而数列是“
摆动数列”,
。
由,于是
对任意
成立,
所以数列是“
摆动数列”。…………………………4分
(2)证明:由数列为“
摆动数列”,
,
即存在常数,使对任意正整数
,总有
成立
即有成立
则,…………………………6分
所以…………………………7分
同理…………………………8分
所以…………………………9分
因此对任意的,都有
成立。…………………………10分
(3)解:当时,
当时,
综上,…………………………12分
即存在,使对任意正整数
,总有
成立,
所以数列是“
摆动数列”; …………………………14分
当为奇数时
递减,所以
,只要
即可
当为偶数时
递增,
,只要
即可……………………15分
综上,
所以数列是“
摆动数列”,
的取值范围是
。…16分
知识点
已知数列
(1)试证数列是等比数列,并求数列
的通项公式;
(2)在数列是,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在,说明理由。
(3)试证在数列中,一定存在满足条件
的正整数r,s,使得
成等差数列;并求出正整数r,s之间的关系。
正确答案
见解析
解析
(1) 证明:由an+an+1=2n,得an+1=2n-an,
所以
又因为,所以数列{an-
×2n}是首项为
,公比为-1的等比数列。
所以an-×2n=
×(-1)n-1,即an=
[2n-(-1)n],所以bn=2n-(-1)n, (5分)
(2) 假设在数列{bn}中,存在连续三项bk-1,bk,bk+1(k∈N*, k≥2)成等差数列,则bk-1+bk+1=2bk,即[2k-1-(-1)k-1]+[2k+1-(-1)k+1]=2[2k-(-1)k],即2k-1=4(-1)k-1。
① 若k为偶数,则2k-1>0,4(-1)k-1=-4<0,所以,不存在偶数k,使得bk-1,bk,bk+1成等差数列,(7分)
② 若k为奇数,则当k≥3时,2k-1≥4,而4(-1)k-1=4,所以,当且仅当k=3时,bk-1,bk,bk+1成等差数列。
综上所述,在数列{bn}中,有且仅有连续三项b2,b3,b4成等差数列,(9分)
(3) 要使b1,br,bs成等差数列,只需b1+bs=2br,
即3+2s-(-1)s=2[2r-(-1)r],即2s-2r+1=(-1)s-2(-1)r-3,(﹡) (10分)
① 若s=r+1,在(﹡)式中,左端2s-2r+1=0,
右端(-1)s-2(-1)r-3=(-1)s+2(-1)s-3=3(-1)s-3,
要使(﹡)式成立,当且仅当s为偶数时,又s>r>1,且s,r为正整数,
所以当s为不小于4的正偶数,且s=r+1时,b1,br,bs成等差数列,(12分)
② 若s≥r+2时,在(﹡)式中,左端2s-2r+1≥2r+2-2r+1=2r+1,
由(2)可知,r≥3,所以r+1≥4,所以左端2s-2r+1≥16(当且仅当s为偶数、r为奇数时取“=”);右端(-1)s-2(-1)s-3≤0.所以当s≥r+2时,b1,br,bs不成等差数列,
综上所述,存在不小于4的正偶数s,且s=r+1,使得b1,br,bs成等差数列。
知识点
已知数列的前
项和为
。
(1)求数列{}的通项公式;
(2)若,则称
是一个变号数,求数列
的变号数的个数;
(3)根据笛卡尔符号法则,有:若关于实数的方程
的所有素数均为实数,则该方程的正根的个数等于
的变号数的个数或比变号数的个数多2的倍数,动用以上结论证明:方程
没有比3大的实数根。
正确答案
见解析。
解析
知识点
已知数列满足
(1)求数列的通项;
(2)若求数列
的前n项
和
正确答案
见解析。
解析
(1)
………………………(1)
………..(2)
(1)-(2)得即
又也适合上式
(2)
知识点
在数列中,已知
.
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:数列是等差数列;
(3)设数列满足
,求
的前n项和
.
正确答案
见解析。
解析
(1)∵
∴数列{}是首项为
,公比为
的等比数列,
∴.…………………………………………………………………………3分
(2)∵…………………………………………………………………… 4分
∴.……………………………………………………………… 5分
∴,公差d=3
∴数列是首项
,公差
的等差数列.…………………………………………6分
(3)由(1)知,,
(n
)
∴.………………………………………………………………7分
∴, ①
于是 ②
…………………………………………………………………………………………… 9分
两式①-②相减得
=.………………………………………………………………………11分
∴ .………………………………………………………12分。
知识点
设=
,
=
,
=
,则 ( )
正确答案
解析
略
知识点
设数列的前
项和
,数列
满足
。
(1)求数列的通项公式;
(2)求数列的前
项和
。
正确答案
(1)(2)
…
解析
(1)时,
, ………2分
,∴
∴,
∴数列的通项公式为:
, ………6分
(2) ………9分
…
, ………12分
知识点
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