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题型:简答题
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简答题 · 13 分

已知数列,满足,且当)时,.令

(1)写出的所有可能取值;

(2)求的最大值.

正确答案

(1)

(2)

解析

(1)由题设,满足条件的数列的所有可能情况有:

1)此时

2)此时

3)此时

4)此时

5)此时

6)此时.

所以,的所有可能取值为:。 .………5分

(2)由,可设,则),

所以。………7分

因为,所以,且为奇数,是由个1和构成的数列。

所以

则当的前项取,后项取最大,

此时。.……10分

证明如下:

假设的前项中恰有,则

的后项中恰有,其中

所以

 

所以的最大值为。 .………13分

知识点

由递推关系式求数列的通项公式分组转化法求和
1
题型:简答题
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简答题 · 16 分

已知数列对任意的满足:,则称为“Z数列”。

(1)求证:任何的等差数列不可能是“Z数列”;

(2)若正数列,数列是“Z数列”,数列是否可能是等比数列,说明理由,构造一个数列,使得是“Z数列”;

(3)若数列是“Z数列”,设求证

正确答案

见解析

解析

解析:(1)设等差数列的首项,公差

            3分

所以任何的等差数列不可能是“Z数列”                                  4分

或者根据等差数列的性质:                              3分

所以任何的等差数列不可能是“Z数列”                                  4分

(2)假设是等比数列,则

是“Z数列”,所以                           6分

,所以不可能是等比数列,                         7分

等比数列只要首项公比             11分

其他的也可以:                               11分

等比数列的首项,公比,通项公式

恒成立,

补充说明:分析:

根据几何意义只要的一阶导函数单调递减就可以

(3)因为

,……,

       12分

同理:

 13分

因为数列满足对任意的

所以                              14分

                                                   16分

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知数列是等差数列,且满足:;数列满足:

 

(1)求

(2)记数列,若的前项和为,求证

正确答案

见解析。

解析

(1)因为,所以,所以

,所以,

,所以

(2)因为,所以

,所以

知识点

由递推关系式求数列的通项公式裂项相消法求和数列与不等式的综合
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题型:简答题
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简答题 · 16 分

定义数列,如果存在常数,使对任意正整数,总有成立,那么我们称数列为“摆动数列”。

(1)设,判断是否为“摆动数列”,并说明理由;

(2)设数列为“摆动数列”,,求证:对任意正整数,总有成立。

(3)设数列的前项和为,且,试问:数列是否为“摆动数列”,若是,求出的取值范围;若不是,说明理由。

正确答案

见解析

解析

解析:假设数列是“摆动数列”,

即存在常数,总有对任意成立,

不妨取时则,取时则,显然常数不存在,

所以数列不是“摆动数列”;……………………2分

而数列是“摆动数列”,

,于是对任意成立,

所以数列是“摆动数列”。…………………………4分

(2)证明:由数列为“摆动数列”,

即存在常数,使对任意正整数,总有成立

即有成立

,…………………………6分

所以…………………………7分

同理…………………………8分

所以…………………………9分

因此对任意的,都有成立。…………………………10分

(3)解:当时,

时,

综上,…………………………12分

即存在,使对任意正整数,总有成立,

所以数列是“摆动数列”; …………………………14分

为奇数时递减,所以,只要即可

为偶数时递增,,只要即可……………………15分

综上

所以数列是“摆动数列”,的取值范围是。…16分

知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合
1
题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知数列

(1)试证数列是等比数列,并求数列的通项公式;

(2)在数列是,是否存在连续三项成等差数列?若存在,求出所有符合条件的项;若不存在,说明理由。

(3)试证在数列中,一定存在满足条件的正整数r,s,使得成等差数列;并求出正整数r,s之间的关系。

正确答案

见解析

解析

(1) 证明:由an+an+1=2n,得an+1=2n-an

所以  

又因为,所以数列{an×2n}是首项为,公比为-1的等比数列。

所以an×2n×(-1)n-1,即an[2n-(-1)n],所以bn=2n-(-1)n,  (5分)

(2) 假设在数列{bn}中,存在连续三项bk-1,bk,bk+1(k∈N*, k≥2)成等差数列,则bk-1+bk+1=2bk,即[2k-1-(-1)k-1]+[2k+1-(-1)k+1]=2[2k-(-1)k],即2k-1=4(-1)k-1

① 若k为偶数,则2k-1>0,4(-1)k-1=-4<0,所以,不存在偶数k,使得bk-1,bk,bk+1成等差数列,(7分)

② 若k为奇数,则当k≥3时,2k-1≥4,而4(-1)k-1=4,所以,当且仅当k=3时,bk-1,bk,bk+1成等差数列。

综上所述,在数列{bn}中,有且仅有连续三项b2,b3,b4成等差数列,(9分)

(3) 要使b1,br,bs成等差数列,只需b1+bs=2br

即3+2s-(-1)s=2[2r-(-1)r],即2s-2r+1=(-1)s-2(-1)r-3,(﹡) (10分)

① 若s=r+1,在(﹡)式中,左端2s-2r+1=0,

右端(-1)s-2(-1)r-3=(-1)s+2(-1)s-3=3(-1)s-3,

要使(﹡)式成立,当且仅当s为偶数时,又s>r>1,且s,r为正整数,

所以当s为不小于4的正偶数,且s=r+1时,b1,br,bs成等差数列,(12分)

② 若s≥r+2时,在(﹡)式中,左端2s-2r+1≥2r+2-2r+1=2r+1

由(2)可知,r≥3,所以r+1≥4,所以左端2s-2r+1≥16(当且仅当s为偶数、r为奇数时取“=”);右端(-1)s-2(-1)s-3≤0.所以当s≥r+2时,b1,br,bs不成等差数列,

综上所述,存在不小于4的正偶数s,且s=r+1,使得b1,br,bs成等差数列。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明数列与不等式的综合等差数列与等比数列的综合
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题型:简答题
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简答题 · 14 分

已知数列的前项和为

(1)求数列{}的通项公式;

(2)若,则称是一个变号数,求数列的变号数的个数;

(3)根据笛卡尔符号法则,有:若关于实数的方程的所有素数均为实数,则该方程的正根的个数等于的变号数的个数或比变号数的个数多2的倍数,动用以上结论证明:方程没有比3大的实数根。

正确答案

见解析。

解析

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列与等比数列的综合
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

已知数列满足

(1)求数列的通项;

(2)若求数列的前n项

正确答案

见解析。

解析

(1)

………………………(1)

………..(2)

(1)-(2)得

也适合上式

(2)

知识点

由递推关系式求数列的通项公式裂项相消法求和
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题型:简答题
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简答题 · 12 分

在数列中,已知.

(1)求数列的通项公式;

(2)求证:数列是等差数列;

(3)设数列满足,求的前n项和.

正确答案

见解析。

解析

(1)∵

∴数列{}是首项为,公比为的等比数列,

.…………………………………………………………………………3分

(2)∵…………………………………………………………………… 4分

.………………………………………………………………  5分

,公差d=3

∴数列是首项,公差的等差数列.…………………………………………6分

(3)由(1)知,(n

.………………………………………………………………7分

,          ①

于是      ②

…………………………………………………………………………………………… 9分

两式①-②相减得

=.………………………………………………………………………11分

.………………………………………………………12分。

知识点

由递推关系式求数列的通项公式等差数列的判断与证明错位相减法求和
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题型: 单选题
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单选题 · 5 分

=,=,=,则 (     )

A

B 

C

D

正确答案

D

解析

知识点

由递推关系式求数列的通项公式
1
题型:简答题
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简答题 · 12 分

设数列的前项和,数列满足

(1)求数列的通项公式;

(2)求数列的前项和

正确答案

(1)(2)

解析

(1)时,,                             ………2分

,∴

∴数列的通项公式为:,                    ………6分

(2)             ………9分

,     ………12分

知识点

由递推关系式求数列的通项公式裂项相消法求和
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