由递推关系式求数列的通项公式
共97题

· 由递推关系式求数列的通项公式

由递推关系式求数列的通项公式
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题型：简答题

简答题 · 12 分

17．数列中，（是常数，），且成公比不为的等比数列．

（I）求的值；

（II）求的通项公式。

正确答案

答案：（I），，，

因为，，成等比数列，所以，

解得或．

当时，，不符合题意舍去，故．

（II）当时，由于，，，

所以．

又，，故．

当时，上式也成立，所以．

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的性质及应用

题型：单选题

单选题 · 5 分

7．已知数列的前项和，正项等比数列中，，，则（）

An-1

B2n-1

Cn-2

正确答案

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知识点

对数的运算性质由递推关系式求数列的通项公式等差数列的性质及应用等比数列的基本运算

题型：简答题

简答题 · 12 分

17．在各项均为正数的数列中，已知点（）（在函数的图像上，且。

（1）求证：数列是等比数列，并求其通项；

（2）若数列的前项和为，且，求。

正确答案

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知识点

对数的运算性质由递推关系式求数列的通项公式等差数列的前n项和及其最值等比数列的判断与证明

题型：简答题

简答题 · 12 分

20.已知数列的前n项和为，数列的前n项和为．

（1）求数列、的通项公式；

（2）令，证明：当且仅当时，。

正确答案

（1）∵

∴当时，

又当时，，适合上式

∴数列的通项公式为

又∵

∴当时，

∴

又当时，，解得

∴数列是以1为首项，为公比的等比数列

∴数列的通项公式为

（2）∵

∴

∴当时，

∴当且仅当时，．

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式错位相减法求和数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 14 分

21．已知等差数列的首项=1，公差d>0，且第2项、第5项、第14项分别为等比数列的第2项、第3项、第4项。

（I）求数列与的通项公式；

（II）设数列｛｝对n均有++…+=成立，求++…+。

正确答案

（I）由已知得=1+d， =1+4d， =1+13d，

=（1+d）（1+13d），

d=2， =2n-1

又==3，= =9

数列{}的公比为3，

=3=．

（II）由++…+= （1）

当n=1时，==3， =3

当n>1时，++…+= （2）

（1）-（2）得 =-=2

=2=2 对不适用

…=3+23+2+…+2

=1+21+23+2+…+2=1+2=

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的基本运算等差数列与等比数列的综合

题型：填空题

填空题 · 4 分

15．数列中，若，，则的通项公式＝（）．

正确答案

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由递推关系式求数列的通项公式

题型：简答题

简答题 · 14 分

22．已知正项数列满足：

（I）求的范围，使得恒成立；

（II）若，证明

正确答案

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式数列与不等式的综合

题型：简答题

简答题 · 18 分

23．已知数列中，且点在直线上

（1）求数列的通项公式；

（2）若函数求函数的最小值；

（3）设表示数列的前项和．试问：是否存在关于的整式，使得对于一切不小于2的自然数恒成立？若存在，写出的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由。

正确答案

相加得：，n≥2

所以。故存在关于n的整式g（x）=n，使得对于一切不小于2的自然数n恒成立。

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知识点

函数的最值函数恒成立、存在、无解问题由递推关系式求数列的通项公式等差数列的性质及应用数列与解析几何的综合

题型：单选题

单选题 · 5 分

16．在数列中，，，则（）

正确答案

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由递推关系式求数列的通项公式

题型：简答题

简答题 · 15 分

21．甲、乙两容器中分别盛有浓度为，的某种溶液500ml，同时从甲、乙两个容器中各取出100ml溶液，将其倒入对方的容器搅匀，这称为一次调和．记，，经次调和后甲、乙两个容器的溶液浓度为，

（1）试用，表示，；

（2）求证：数列｛－｝是等比数列，数列｛+｝是常数列；

（3）求出数列｛｝，｛｝的通项公式．

正确答案

（1）

（2）两式相减

所以等比

两式相加

＝……．＝所以常数列；

（3）

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由递推关系式求数列的通项公式等比数列的基本运算等比数列的性质及应用

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