由递推关系式求数列的通项公式
共97题

· 由递推关系式求数列的通项公式

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题型：填空题

填空题 · 5 分

11．设数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），则数列{}的前10项的和为　　．

正确答案

解析

∵数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），

∴当n≥2时，an=（an﹣an﹣1）+…+（a2﹣a1）+a1=+n+…+2+1=．

当n=1时，上式也成立，

∴an=．

∴=2．

∴数列{}的前n项的和Sn=

=．

∴数列{}的前10项的和为．

故答案为：．

考查方向

本题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解题思路

数列{an}满足a1=1，且an+1﹣an=n+1（n∈N*），利用“累加求和”可得an=．再利用“裂项求和”即可得出．

易错点

题考查了数列的“累加求和”方法、“裂项求和”方法、尤其在用“裂项求和”的过程中易错.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式

题型：填空题

填空题 · 4 分

14．数列中，，当时，，则数列的通项公式为．

正确答案

解析

当时，，

故

考查方向

本题考查了根据数列的递推公式求通项的方法之累乘法.

解题思路

将递推公式转化成；2.将写成；3.依据递推公式代入求解.

易错点

忘了同底指数幂相乘的运算法则；2.指数位置应是共项相加.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式

题型：填空题

填空题 · 5 分

16.设为数列的前项和，若，则

正确答案

解析

∵，

∴当时，，即;

当时，，即,

∴

故答案为.

考查方向

本题考查了等比数列的前n项公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．

解题思路

由，当时，可得．当时，，即．再利用等比数列的前n项公式即可得出．

易错点

要分清n是奇数和偶数.

知识点

由递推关系式求数列的通项公式其它方法求和

题型：简答题

简答题 · 14 分

19．设数列的前项和为，．已知，，，且当时，。

（1）求的值；

（2）证明：为等比数列；

（3）求数列的通项公式。

正确答案

（1）令可得的值；

（2）先将（）转化为，再利用等比数列的定义可证是等比数列；

（3）先由（2）可得数列的通项公式，再将数列的通项公式转化为数列是等差数列，进而可得数列的通项公式．

试题解析：

（1）当时，，即，解得：

（2）因为（），所以（），即（），因为，所以，因为，所以数列是以为首项，公比为的等比数列

（3）由（2）知：数列是以为首项，公比为的等比数列，

所以

即，所以数列是以为首项，公差为的等差数列，

所以，即，

所以数列的通项公式是

解析

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知识点

由递推关系式求数列的通项公式等比数列的判断与证明

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