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题型:简答题
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简答题

已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=2,圆C的直角坐标方程为x2+y2=1.

(1)求圆C上的点到直线l的距离的最小值;

(2)圆C经过伸缩变换后得到曲线C′,求曲线C′上的点到直线l的距离的最小值.

正确答案

解:(1)∵直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=2

∴x+y-4=0.

∵圆C的直角坐标方程为x2+y2=1,

∴圆心坐标为O(0,0).

∴圆心O到直线l的距离为:

∴圆C上的点到直线l的距离的最小值为

(2)∵

∵x2+y2=1,

在曲线C′:上任取一点P′(x′,y′).

(α为参数),

则点P′不到直线l的距离为:

=

∴曲线C′上的点到直线l的距离的最小值为

解析

解:(1)∵直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=2

∴x+y-4=0.

∵圆C的直角坐标方程为x2+y2=1,

∴圆心坐标为O(0,0).

∴圆心O到直线l的距离为:

∴圆C上的点到直线l的距离的最小值为

(2)∵

∵x2+y2=1,

在曲线C′:上任取一点P′(x′,y′).

(α为参数),

则点P′不到直线l的距离为:

=

∴曲线C′上的点到直线l的距离的最小值为

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题型:简答题
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简答题

(1)选修4-2:矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,0),B(-2,0),C(-2,1).设k为非零实数,矩阵M=,N=,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求k的值.

正确答案

解:(1)由题设得

可知A1(0,0)、B1(0,-2)、C1(k,-2)

计算得△ABC面积的面积是1,△A1B1C1的面积是k的绝对值,则由题设可知:k的值为2或-2.

解析

解:(1)由题设得

可知A1(0,0)、B1(0,-2)、C1(k,-2)

计算得△ABC面积的面积是1,△A1B1C1的面积是k的绝对值,则由题设可知:k的值为2或-2.

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题型:填空题
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填空题

若实数a、b、c、d满足矩阵等式,则行列式的值为______

正确答案

8

解析

解:由题意,根据矩阵相等可知a=2,b=1,c=0,d=4,

故答案为8

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题型:简答题
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简答题

已知M=,N=,设曲线y=sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F,求F的方程.

正确答案

解:由题设得.…4分

设所求曲线F上任意一点的坐标为(x,y),y=sinx上任意一点的坐标为(x‘,y'),则

MN=,解得 .…7分

代入y'=sinx',化简得y=2sin2x.

所以,曲线F的方程为y=2sin2x.…10分

解析

解:由题设得.…4分

设所求曲线F上任意一点的坐标为(x,y),y=sinx上任意一点的坐标为(x‘,y'),则

MN=,解得 .…7分

代入y'=sinx',化简得y=2sin2x.

所以,曲线F的方程为y=2sin2x.…10分

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题型:填空题
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填空题

已知矩阵A=,AB=,则矩阵B=______

正确答案

解析

解:∵|A|==2,

∴A-1=

∵AB=

∴B==

故答案为:

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题型: 单选题
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单选题

圆x2+y2=1在矩阵A=对应的变换下,得到的曲线的方程是(  )

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解:设P(x,y)是圆C:x2+y2=1上的任一点,

P1(x′,y′)是P(x,y)在矩阵对应变换作用下新曲线上的对应点,

(3分)

,所以 ,(6分)

代入x2+y2=1,得 ,(8分)

故选C

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题型:简答题
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简答题

已知矩阵A=把点(1,1)变换成点(2,2)

(Ⅰ)求a,b的值

(Ⅱ)求曲线C:x2+y2=1在矩阵A的变换作用下对应的曲线方程.

正确答案

解:(I)由,得

∴a=1,b=2

(Ⅱ)点P(x,y)是圆x2+y2=1上的任意一点,变换后的点为Q(x‘,y'),则

=,可得

代入单位圆方程,得

(x'-y')2+(y')2=1,化简整理得:(x')2+(y')2-x'y'-1=0

∴A将圆x2+y2=1变换后的曲线C方程为:x2+y2-xy-1=0.

解析

解:(I)由,得

∴a=1,b=2

(Ⅱ)点P(x,y)是圆x2+y2=1上的任意一点,变换后的点为Q(x‘,y'),则

=,可得

代入单位圆方程,得

(x'-y')2+(y')2=1,化简整理得:(x')2+(y')2-x'y'-1=0

∴A将圆x2+y2=1变换后的曲线C方程为:x2+y2-xy-1=0.

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题型:简答题
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简答题

在直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标为A(0,0),B(2,0),C(2,1),求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积,这里矩阵:M=,N=

正确答案

解:

可知A(0,0),B(2,0),C(2,1)在矩阵MN作用下变换所得到的点分别为

点D(0,0),E(0,4),F(-2,4),

可得S△DEF=4

所以△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积为4.

解析

解:

可知A(0,0),B(2,0),C(2,1)在矩阵MN作用下变换所得到的点分别为

点D(0,0),E(0,4),F(-2,4),

可得S△DEF=4

所以△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积为4.

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题型:简答题
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简答题

我们将点P(x,y)经过矩阵的变换得到新的点P‘(x',y')称作一次运动,即:

(1)若点P(3,4)经过矩阵变换后得到新的点P',求出点P'的坐标,并指出点P'与点P的位置关系;

(2)若函数(x≥0)的图象上的每一个点经过(1)中的矩阵A变换后,所得到图象对应函数y=g(x),试研究在y=g(x)上是否存在定义域与值域相同的区间[m,n],若存在,求出满足条件的实数a的取值范围;若不存在,说明理由.

正确答案

解:(1)∵,∴P‘的坐标为(4,3)(2分)

显然点P'与点P关于直线y=x成轴对称;(4分)

(2)由(1)知y=g(x)为y=f(x)的反函数,(5分)

∴x2=ay-5,∴∴当a>0时,)(7分)

当a<0时,)(8分)

当a>0时,函数y=g(x)在定义域内单调递增,

要使函数y=g(x)存在定义域与值域相同的区间[m,n],

只需方程当x≥0时有两个相异实根,(10分)

即方程ax-5=x2有两个相异正根(x=0显然不是方程的根),∴(x>0)即函数y=a与函数(x>0)有两个交点,

由基本不等式可知:当且仅当时有最小值)(12分)

当a<0时,∵函数y=g(x)的值域为[0,+∞),而,∴当a<0时,不存在定义域与值域相同的区间[m,n],∴a的取值范围为.(14分)

解析

解:(1)∵,∴P‘的坐标为(4,3)(2分)

显然点P'与点P关于直线y=x成轴对称;(4分)

(2)由(1)知y=g(x)为y=f(x)的反函数,(5分)

∴x2=ay-5,∴∴当a>0时,)(7分)

当a<0时,)(8分)

当a>0时,函数y=g(x)在定义域内单调递增,

要使函数y=g(x)存在定义域与值域相同的区间[m,n],

只需方程当x≥0时有两个相异实根,(10分)

即方程ax-5=x2有两个相异正根(x=0显然不是方程的根),∴(x>0)即函数y=a与函数(x>0)有两个交点,

由基本不等式可知:当且仅当时有最小值)(12分)

当a<0时,∵函数y=g(x)的值域为[0,+∞),而,∴当a<0时,不存在定义域与值域相同的区间[m,n],∴a的取值范围为.(14分)

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题型:简答题
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简答题

选修4-2:(矩阵与变换)

已知a,b∈R,若矩阵M=所对应的变换把直线l:2x-y=3变换为自身,求a,b的值.

正确答案

解:(方法一)在直线l上取两点(,0),(0,-3).

因为  = =,…(6分)

因为M对应的变换把直线变换为自身,所以点(-b),(-3a,-9)仍在直线l上.

代入直线方程得解得…(10分)

(方法二)设(x,y)为直线l上任意一点,则 =,…(3分)

因为M对应的变换把直线变换为自身,所以点(-x+ay,bx+3y)仍在直线l上,

代入直线方程得:2(-x+ay)-(bx+3y)=3,…(7分)

化简得(-2-b)x+(2a-3)y=3,又直线l:2x-y=3,

所以解得…(10分)

解析

解:(方法一)在直线l上取两点(,0),(0,-3).

因为  = =,…(6分)

因为M对应的变换把直线变换为自身,所以点(-b),(-3a,-9)仍在直线l上.

代入直线方程得解得…(10分)

(方法二)设(x,y)为直线l上任意一点,则 =,…(3分)

因为M对应的变换把直线变换为自身,所以点(-x+ay,bx+3y)仍在直线l上,

代入直线方程得:2(-x+ay)-(bx+3y)=3,…(7分)

化简得(-2-b)x+(2a-3)y=3,又直线l:2x-y=3,

所以解得…(10分)

百度题库 > 高考 > 数学 > 平面与圆锥面的截线

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