- 平面与圆锥面的截线
- 共736题
已知直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=2
,圆C的直角坐标方程为x2+y2=1.
(1)求圆C上的点到直线l的距离的最小值;
(2)圆C经过伸缩变换后得到曲线C′,求曲线C′上的点到直线l的距离的最小值.
正确答案
解:(1)∵直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=2
,
∴,
∵,
∴x+y-4=0.
∵圆C的直角坐标方程为x2+y2=1,
∴圆心坐标为O(0,0).
∴圆心O到直线l的距离为:.
∴圆C上的点到直线l的距离的最小值为.
(2)∵,
∴.
∵x2+y2=1,
∴.
在曲线C′:上任取一点P′(x′,y′).
设(α为参数),
则点P′不到直线l的距离为:
=
.
∴曲线C′上的点到直线l的距离的最小值为.
解析
解:(1)∵直线l的极坐标方程为ρsin(θ+)=2
,
∴,
∵,
∴x+y-4=0.
∵圆C的直角坐标方程为x2+y2=1,
∴圆心坐标为O(0,0).
∴圆心O到直线l的距离为:.
∴圆C上的点到直线l的距离的最小值为.
(2)∵,
∴.
∵x2+y2=1,
∴.
在曲线C′:上任取一点P′(x′,y′).
设(α为参数),
则点P′不到直线l的距离为:
=
.
∴曲线C′上的点到直线l的距离的最小值为.
(1)选修4-2:矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(0,0),B(-2,0),C(-2,1).设k为非零实数,矩阵M=,N=
,点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A1、B1、C1,△A1B1C1的面积是△ABC面积的2倍,求k的值.
正确答案
解:(1)由题设得
由,
可知A1(0,0)、B1(0,-2)、C1(k,-2)
计算得△ABC面积的面积是1,△A1B1C1的面积是k的绝对值,则由题设可知:k的值为2或-2.
解析
解:(1)由题设得
由,
可知A1(0,0)、B1(0,-2)、C1(k,-2)
计算得△ABC面积的面积是1,△A1B1C1的面积是k的绝对值,则由题设可知:k的值为2或-2.
若实数a、b、c、d满足矩阵等式,则行列式
的值为______.
正确答案
8
解析
解:由题意,根据矩阵相等可知a=2,b=1,c=0,d=4,
∴
故答案为8
已知M=,N=
,设曲线y=sinx在矩阵MN对应的变换作用下得到曲线F,求F的方程.
正确答案
解:由题设得.…4分
设所求曲线F上任意一点的坐标为(x,y),y=sinx上任意一点的坐标为(x‘,y'),则
MN=
,解得
.…7分
把代入y'=sinx',化简得y=2sin2x.
所以,曲线F的方程为y=2sin2x.…10分
解析
解:由题设得.…4分
设所求曲线F上任意一点的坐标为(x,y),y=sinx上任意一点的坐标为(x‘,y'),则
MN=
,解得
.…7分
把代入y'=sinx',化简得y=2sin2x.
所以,曲线F的方程为y=2sin2x.…10分
已知矩阵A=,AB=
,则矩阵B=______.
正确答案
解析
解:∵|A|==2,
∴A-1=,
∵AB=,
∴B==
,
故答案为:.
圆x2+y2=1在矩阵A=对应的变换下,得到的曲线的方程是( )
正确答案
解析
解:设P(x,y)是圆C:x2+y2=1上的任一点,
P1(x′,y′)是P(x,y)在矩阵对应变换作用下新曲线上的对应点,
则 (3分)
即 ,所以
,(6分)
将 代入x2+y2=1,得
,(8分)
故选C
已知矩阵A=把点(1,1)变换成点(2,2)
(Ⅰ)求a,b的值
(Ⅱ)求曲线C:x2+y2=1在矩阵A的变换作用下对应的曲线方程.
正确答案
解:(I)由,得
,
∴a=1,b=2
(Ⅱ)点P(x,y)是圆x2+y2=1上的任意一点,变换后的点为Q(x‘,y'),则
=
,可得
代入单位圆方程,得
(x'-y')2+(
y')2=1,化简整理得:(x')2+
(y')2-x'y'-1=0
∴A将圆x2+y2=1变换后的曲线C方程为:x2+y2-xy-1=0.
解析
解:(I)由,得
,
∴a=1,b=2
(Ⅱ)点P(x,y)是圆x2+y2=1上的任意一点,变换后的点为Q(x‘,y'),则
=
,可得
代入单位圆方程,得
(x'-y')2+(
y')2=1,化简整理得:(x')2+
(y')2-x'y'-1=0
∴A将圆x2+y2=1变换后的曲线C方程为:x2+y2-xy-1=0.
在直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标为A(0,0),B(2,0),C(2,1),求△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积,这里矩阵:M=,N=
.
正确答案
解:.
由,
,
可知A(0,0),B(2,0),C(2,1)在矩阵MN作用下变换所得到的点分别为
点D(0,0),E(0,4),F(-2,4),
可得S△DEF=4
所以△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积为4.
解析
解:.
由,
,
可知A(0,0),B(2,0),C(2,1)在矩阵MN作用下变换所得到的点分别为
点D(0,0),E(0,4),F(-2,4),
可得S△DEF=4
所以△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形的面积为4.
我们将点P(x,y)经过矩阵的变换得到新的点P‘(x',y')称作一次运动,即:
.
(1)若点P(3,4)经过矩阵变换后得到新的点P',求出点P'的坐标,并指出点P'与点P的位置关系;
(2)若函数(x≥0)的图象上的每一个点经过(1)中的矩阵A变换后,所得到图象对应函数y=g(x),试研究在y=g(x)上是否存在定义域与值域相同的区间[m,n],若存在,求出满足条件的实数a的取值范围;若不存在,说明理由.
正确答案
解:(1)∵,∴P‘的坐标为(4,3)(2分)
显然点P'与点P关于直线y=x成轴对称;(4分)
(2)由(1)知y=g(x)为y=f(x)的反函数,(5分)
∴x2=ay-5,∴∴当a>0时,
(
)(7分)
当a<0时,(
)(8分)
当a>0时,函数y=g(x)在定义域内单调递增,
要使函数y=g(x)存在定义域与值域相同的区间[m,n],
只需方程当x≥0时有两个相异实根,(10分)
即方程ax-5=x2有两个相异正根(x=0显然不是方程的根),∴(x>0)即函数y=a与函数
(x>0)有两个交点,
由基本不等式可知:(
当且仅当
时有最小值)(12分)
当a<0时,∵函数y=g(x)的值域为[0,+∞),而,∴当a<0时,不存在定义域与值域相同的区间[m,n],∴a的取值范围为
.(14分)
解析
解:(1)∵,∴P‘的坐标为(4,3)(2分)
显然点P'与点P关于直线y=x成轴对称;(4分)
(2)由(1)知y=g(x)为y=f(x)的反函数,(5分)
∴x2=ay-5,∴∴当a>0时,
(
)(7分)
当a<0时,(
)(8分)
当a>0时,函数y=g(x)在定义域内单调递增,
要使函数y=g(x)存在定义域与值域相同的区间[m,n],
只需方程当x≥0时有两个相异实根,(10分)
即方程ax-5=x2有两个相异正根(x=0显然不是方程的根),∴(x>0)即函数y=a与函数
(x>0)有两个交点,
由基本不等式可知:(
当且仅当
时有最小值)(12分)
当a<0时,∵函数y=g(x)的值域为[0,+∞),而,∴当a<0时,不存在定义域与值域相同的区间[m,n],∴a的取值范围为
.(14分)
选修4-2:(矩阵与变换)
已知a,b∈R,若矩阵M=所对应的变换把直线l:2x-y=3变换为自身,求a,b的值.
正确答案
解:(方法一)在直线l上取两点(,0),(0,-3).
因为
=
,
=
,…(6分)
因为M对应的变换把直线变换为自身,所以点(-,
b),(-3a,-9)仍在直线l上.
代入直线方程得解得
…(10分)
(方法二)设(x,y)为直线l上任意一点,则
=
,…(3分)
因为M对应的变换把直线变换为自身,所以点(-x+ay,bx+3y)仍在直线l上,
代入直线方程得:2(-x+ay)-(bx+3y)=3,…(7分)
化简得(-2-b)x+(2a-3)y=3,又直线l:2x-y=3,
所以解得
…(10分)
解析
解:(方法一)在直线l上取两点(,0),(0,-3).
因为
=
,
=
,…(6分)
因为M对应的变换把直线变换为自身,所以点(-,
b),(-3a,-9)仍在直线l上.
代入直线方程得解得
…(10分)
(方法二)设(x,y)为直线l上任意一点,则
=
,…(3分)
因为M对应的变换把直线变换为自身,所以点(-x+ay,bx+3y)仍在直线l上,
代入直线方程得:2(-x+ay)-(bx+3y)=3,…(7分)
化简得(-2-b)x+(2a-3)y=3,又直线l:2x-y=3,
所以解得
…(10分)
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