热门试卷

解：由题意得，∵将曲线y2=x绕原点逆时针旋转90°，

旋转变换矩阵，…（3分）

设P（x0，y0）为曲线y2=x上任意一点，变换后变为另一点（x，y），

则，即

所以又因为点P在曲线y2=x上，所以y02=x0，

故（-x）2=y，

即x2=y为所求的曲线方程．…（10分）

解：由题意，A（0，0），B（-1，2），C（0，3）在矩阵作用下分别变为

D（0，0），E（-2，-1），F（-3，0）

∴所求面积为

解：设，

由题意有，

，且，

∴，

解得，

∴．

解：（Ⅰ）detM=1×4-2×3=-2；

∴；

向量在线性变换M-1作用下变为向量：

=；

∴点A′的坐标为；

（Ⅱ）（x，y）为直线l上的点，在变换M作用下变成（x′，y′），则：

由得：

；

∵（x′，y′）为直线x-y=4上的点；

∴x′-y′=4；

∴（x+2y）-（3x+4y）=4；

整理得：x+y=-2；

即l的方程为x+y=-2．

解：（Ⅰ）设M=，则由=6得=，

即a+b=c+d=6．                                                …（1分）

由=，得，从而a+2b=8，c+2d=4．       …（2分）

由a+b=6及a+2b=8，解得a=4，b=2；

由c+d=6及c+2d=4，解得c=8，d=-2，

所以M=；…（3分）

（Ⅱ）由（Ⅰ）知矩阵M的特征多项式为…（4分）

令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为6与-4．                      …（5分）

当λ=-4时，

故矩阵M的属于另一个特征值-4的一个特征向量为．        …（6分）

解：（1）设T=，

由=，解得                    …（3分）

由=，解得

所以T=．                                 …（7分）

（2）设曲线F上任意一点P（x，y）在矩阵T对应的变换作用下变为P′（x′，y′），则

=，即，所以　　　…（9分）

因为x2-y2=1，

所以（2x´-y´）2-（2y´-x´）2=9，即x´2-y´2=3，…（12分）

故曲线F´的方程为x2-y2=3．…（14分）

解：设将正方形ABCD绕原点逆时针旋转90°所对应的矩阵为A，

则A==，

设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半，横坐标不变所对应的矩阵为B，则B=，

∴连续两次变换所对应的矩阵M=BA==．