- 平面与圆锥面的截线
- 共736题
4-2 矩阵与变换
求将曲线y2=x绕原点逆时针旋转90°后所得的曲线方程.
正确答案
解:由题意得,∵将曲线y2=x绕原点逆时针旋转90°,
旋转变换矩阵,…(3分)
设P(x0,y0)为曲线y2=x上任意一点,变换后变为另一点(x,y),
则,即
所以又因为点P在曲线y2=x上,所以y02=x0,
故(-x)2=y,
即x2=y为所求的曲线方程.…(10分)
解析
解:由题意得,∵将曲线y2=x绕原点逆时针旋转90°,
旋转变换矩阵,…(3分)
设P(x0,y0)为曲线y2=x上任意一点,变换后变为另一点(x,y),
则,即
所以又因为点P在曲线y2=x上,所以y02=x0,
故(-x)2=y,
即x2=y为所求的曲线方程.…(10分)
在直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标为A(0,0),B(-1,2),C(0,3).求△ABC在矩阵作用下变换所得到的图形的面积.
正确答案
解:由题意,A(0,0),B(-1,2),C(0,3)在矩阵作用下分别变为
D(0,0),E(-2,-1),F(-3,0)
∴所求面积为
解析
解:由题意,A(0,0),B(-1,2),C(0,3)在矩阵作用下分别变为
D(0,0),E(-2,-1),F(-3,0)
∴所求面积为
[选做题]已知二阶矩阵M属于特征值3的一个特征向量为,并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变成点(9,15),求出矩阵M.
正确答案
解:设,
由题意有,
,且
,
∴,
解得,
∴.
解析
解:设,
由题意有,
,且
,
∴,
解得,
∴.
选修4-2:矩阵与变换
已知二阶矩阵A=.
(1)求矩阵A的特征值和特征向量;
(2)设向量,求A5β.
正确答案
解析
解:(1)矩阵A的特征多项式为f(λ)==(λ-3)(λ+2)
令f(λ)=0,得λ=3或λ=-2
将λ=3代入二元一次方程组,得,解之得y=0
∴矩阵A属于特征值3的特征向量为
将λ=-2代入二元一次方程组,得,取x=1得y=-1
∴矩阵A属于特征值-2的特征向量为;
(2)由(1)知,向量β是矩阵A的属于特征值-2的一个特征向量
∴A5β=λ5β=-32=
.
已知点M(3,-1)绕原点按逆时针旋转90°后,且在矩阵A=对应的变换作用下,得到点N(3,5),求a,b的值.
正确答案
解析
解:绕原点按逆时针旋转90°的变换矩阵为,
所以=
,
由=
,
所以,
所以a=3,b=1.
(1)二阶矩阵M=;
(Ⅰ)求点A(1,2)在变换M-1作用下得到的点A′;
(Ⅱ)设直线l在变换M作用下得到了直线m:x-y=4,求l的方程.
正确答案
解:(Ⅰ)detM=1×4-2×3=-2;
∴;
向量在线性变换M-1作用下变为向量:
=
;
∴点A′的坐标为;
(Ⅱ)(x,y)为直线l上的点,在变换M作用下变成(x′,y′),则:
由得:
;
∵(x′,y′)为直线x-y=4上的点;
∴x′-y′=4;
∴(x+2y)-(3x+4y)=4;
整理得:x+y=-2;
即l的方程为x+y=-2.
解析
解:(Ⅰ)detM=1×4-2×3=-2;
∴;
向量在线性变换M-1作用下变为向量:
=
;
∴点A′的坐标为;
(Ⅱ)(x,y)为直线l上的点,在变换M作用下变成(x′,y′),则:
由得:
;
∵(x′,y′)为直线x-y=4上的点;
∴x′-y′=4;
∴(x+2y)-(3x+4y)=4;
整理得:x+y=-2;
即l的方程为x+y=-2.
二阶矩阵M有特征值λ=6,其对应的一个特征向量=
,并且矩阵M对应的变换将点(1,2)变换成点(8,4).
(Ⅰ)求矩阵M;
(Ⅱ)求矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量.
正确答案
解:(Ⅰ)设M=,则由
=6
得
=
,
即a+b=c+d=6. …(1分)
由=
,得
,从而a+2b=8,c+2d=4. …(2分)
由a+b=6及a+2b=8,解得a=4,b=2;
由c+d=6及c+2d=4,解得c=8,d=-2,
所以M=;…(3分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知矩阵M的特征多项式为…(4分)
令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为6与-4. …(5分)
当λ=-4时,
故矩阵M的属于另一个特征值-4的一个特征向量为. …(6分)
解析
解:(Ⅰ)设M=,则由
=6
得
=
,
即a+b=c+d=6. …(1分)
由=
,得
,从而a+2b=8,c+2d=4. …(2分)
由a+b=6及a+2b=8,解得a=4,b=2;
由c+d=6及c+2d=4,解得c=8,d=-2,
所以M=;…(3分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知矩阵M的特征多项式为…(4分)
令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为6与-4. …(5分)
当λ=-4时,
故矩阵M的属于另一个特征值-4的一个特征向量为. …(6分)
如图,单位正方形OABC在二阶矩阵T的作用下,变成菱形OA1B1C1.
(1)求矩阵T;
(2)设双曲线F:x2-y2=1在矩阵T对应的变换作用下得到曲线F′,求曲线F′的方程.
正确答案
解:(1)设T=,
由=
,解得
…(3分)
由=
,解得
所以T=. …(7分)
(2)设曲线F上任意一点P(x,y)在矩阵T对应的变换作用下变为P′(x′,y′),则
=
,即
,所以
…(9分)
因为x2-y2=1,
所以(2x´-y´)2-(2y´-x´)2=9,即x´2-y´2=3,…(12分)
故曲线F´的方程为x2-y2=3.…(14分)
解析
解:(1)设T=,
由=
,解得
…(3分)
由=
,解得
所以T=. …(7分)
(2)设曲线F上任意一点P(x,y)在矩阵T对应的变换作用下变为P′(x′,y′),则
=
,即
,所以
…(9分)
因为x2-y2=1,
所以(2x´-y´)2-(2y´-x´)2=9,即x´2-y´2=3,…(12分)
故曲线F´的方程为x2-y2=3.…(14分)
在平面直角坐标系xoy中,已知A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),先将正方形ABCD绕原点逆时针旋转90°,再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半,横坐标不变,求连续两次变换所对应的矩阵M.
正确答案
解:设将正方形ABCD绕原点逆时针旋转90°所对应的矩阵为A,
则A==
,
设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半,横坐标不变所对应的矩阵为B,则B=,
∴连续两次变换所对应的矩阵M=BA==
.
解析
解:设将正方形ABCD绕原点逆时针旋转90°所对应的矩阵为A,
则A==
,
设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半,横坐标不变所对应的矩阵为B,则B=,
∴连续两次变换所对应的矩阵M=BA==
.
如图,向量
和
被矩阵M作用后分别变成
和
,
(Ⅰ)求矩阵M;
(Ⅱ)并求y=sin(x+)在M作用后的函数解析式.
正确答案
解:(Ⅰ)设M=,
∵,
矩阵M作用后分别变成
=(2,2),
=(2,4),
∴用待定系数求得M=;
(Ⅱ)∵M=,
∴,解得
,
再坐标转移法得y′=2sin(+
)
解析
解:(Ⅰ)设M=,
∵,
矩阵M作用后分别变成
=(2,2),
=(2,4),
∴用待定系数求得M=;
(Ⅱ)∵M=,
∴,解得
,
再坐标转移法得y′=2sin(+
)
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