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题型:简答题
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简答题

4-2 矩阵与变换

求将曲线y2=x绕原点逆时针旋转90°后所得的曲线方程.

正确答案

解:由题意得,∵将曲线y2=x绕原点逆时针旋转90°,

旋转变换矩阵,…(3分)

设P(x0,y0)为曲线y2=x上任意一点,变换后变为另一点(x,y),

,即

所以又因为点P在曲线y2=x上,所以y02=x0

故(-x)2=y,

即x2=y为所求的曲线方程.…(10分)

解析

解:由题意得,∵将曲线y2=x绕原点逆时针旋转90°,

旋转变换矩阵,…(3分)

设P(x0,y0)为曲线y2=x上任意一点,变换后变为另一点(x,y),

,即

所以又因为点P在曲线y2=x上,所以y02=x0

故(-x)2=y,

即x2=y为所求的曲线方程.…(10分)

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题型:简答题
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简答题

在直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标为A(0,0),B(-1,2),C(0,3).求△ABC在矩阵作用下变换所得到的图形的面积.

正确答案

解:由题意,A(0,0),B(-1,2),C(0,3)在矩阵作用下分别变为

D(0,0),E(-2,-1),F(-3,0)

∴所求面积为

解析

解:由题意,A(0,0),B(-1,2),C(0,3)在矩阵作用下分别变为

D(0,0),E(-2,-1),F(-3,0)

∴所求面积为

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题型:简答题
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简答题

[选做题]已知二阶矩阵M属于特征值3的一个特征向量为,并且矩阵M对应的变换将点(-1,2)变成点(9,15),求出矩阵M.

正确答案

解:设

由题意有,

,且

解得

解析

解:设

由题意有,

,且

解得

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题型:填空题
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填空题

选修4-2:矩阵与变换

已知二阶矩阵A=

(1)求矩阵A的特征值和特征向量;

(2)设向量,求A5β.

正确答案

解析

解:(1)矩阵A的特征多项式为f(λ)==(λ-3)(λ+2)

令f(λ)=0,得λ=3或λ=-2

将λ=3代入二元一次方程组,得,解之得y=0

∴矩阵A属于特征值3的特征向量为

将λ=-2代入二元一次方程组,得,取x=1得y=-1

∴矩阵A属于特征值-2的特征向量为

(2)由(1)知,向量β是矩阵A的属于特征值-2的一个特征向量

∴A5β=λ5β=-32=

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题型:填空题
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填空题

已知点M(3,-1)绕原点按逆时针旋转90°后,且在矩阵A=对应的变换作用下,得到点N(3,5),求a,b的值.

正确答案

解析

解:绕原点按逆时针旋转90°的变换矩阵为

所以=

=

所以

所以a=3,b=1.

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题型:简答题
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简答题

(1)二阶矩阵M=

(Ⅰ)求点A(1,2)在变换M-1作用下得到的点A′;

(Ⅱ)设直线l在变换M作用下得到了直线m:x-y=4,求l的方程.

正确答案

解:(Ⅰ)detM=1×4-2×3=-2;

向量在线性变换M-1作用下变为向量:

=

∴点A′的坐标为

(Ⅱ)(x,y)为直线l上的点,在变换M作用下变成(x′,y′),则:

得:

∵(x′,y′)为直线x-y=4上的点;

∴x′-y′=4;

∴(x+2y)-(3x+4y)=4;

整理得:x+y=-2;

即l的方程为x+y=-2.

解析

解:(Ⅰ)detM=1×4-2×3=-2;

向量在线性变换M-1作用下变为向量:

=

∴点A′的坐标为

(Ⅱ)(x,y)为直线l上的点,在变换M作用下变成(x′,y′),则:

得:

∵(x′,y′)为直线x-y=4上的点;

∴x′-y′=4;

∴(x+2y)-(3x+4y)=4;

整理得:x+y=-2;

即l的方程为x+y=-2.

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题型:简答题
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简答题

二阶矩阵M有特征值λ=6,其对应的一个特征向量=,并且矩阵M对应的变换将点(1,2)变换成点(8,4).

(Ⅰ)求矩阵M;

(Ⅱ)求矩阵M的另一个特征值及对应的一个特征向量.

正确答案

解:(Ⅰ)设M=,则由=6=

即a+b=c+d=6.                                                …(1分)

=,得,从而a+2b=8,c+2d=4.       …(2分)

由a+b=6及a+2b=8,解得a=4,b=2;

由c+d=6及c+2d=4,解得c=8,d=-2,

所以M=;…(3分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知矩阵M的特征多项式为…(4分)

令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为6与-4.                      …(5分)

当λ=-4时,

故矩阵M的属于另一个特征值-4的一个特征向量为.        …(6分)

解析

解:(Ⅰ)设M=,则由=6=

即a+b=c+d=6.                                                …(1分)

=,得,从而a+2b=8,c+2d=4.       …(2分)

由a+b=6及a+2b=8,解得a=4,b=2;

由c+d=6及c+2d=4,解得c=8,d=-2,

所以M=;…(3分)

(Ⅱ)由(Ⅰ)知矩阵M的特征多项式为…(4分)

令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为6与-4.                      …(5分)

当λ=-4时,

故矩阵M的属于另一个特征值-4的一个特征向量为.        …(6分)

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题型:简答题
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简答题

如图,单位正方形OABC在二阶矩阵T的作用下,变成菱形OA1B1C1

(1)求矩阵T;

(2)设双曲线F:x2-y2=1在矩阵T对应的变换作用下得到曲线F′,求曲线F′的方程.

正确答案

解:(1)设T=

=,解得                    …(3分)

=,解得

所以T=.                                 …(7分)

(2)设曲线F上任意一点P(x,y)在矩阵T对应的变换作用下变为P′(x′,y′),则

=,即,所以   …(9分)

因为x2-y2=1,

所以(2x´-y´)2-(2y´-x´)2=9,即x´2-y´2=3,…(12分)

故曲线F´的方程为x2-y2=3.…(14分)

解析

解:(1)设T=

=,解得                    …(3分)

=,解得

所以T=.                                 …(7分)

(2)设曲线F上任意一点P(x,y)在矩阵T对应的变换作用下变为P′(x′,y′),则

=,即,所以   …(9分)

因为x2-y2=1,

所以(2x´-y´)2-(2y´-x´)2=9,即x´2-y´2=3,…(12分)

故曲线F´的方程为x2-y2=3.…(14分)

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题型:简答题
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简答题

在平面直角坐标系xoy中,已知A(0,0),B(2,0),C(2,2),D(0,2),先将正方形ABCD绕原点逆时针旋转90°,再将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半,横坐标不变,求连续两次变换所对应的矩阵M.

正确答案

解:设将正方形ABCD绕原点逆时针旋转90°所对应的矩阵为A,

则A==

设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半,横坐标不变所对应的矩阵为B,则B=

∴连续两次变换所对应的矩阵M=BA==

解析

解:设将正方形ABCD绕原点逆时针旋转90°所对应的矩阵为A,

则A==

设将所得图形的纵坐标压缩为原来的一半,横坐标不变所对应的矩阵为B,则B=

∴连续两次变换所对应的矩阵M=BA==

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题型:简答题
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简答题

如图,向量被矩阵M作用后分别变成

(Ⅰ)求矩阵M;

(Ⅱ)并求y=sin(x+)在M作用后的函数解析式.

正确答案

解:(Ⅰ)设M=

矩阵M作用后分别变成=(2,2),=(2,4),

∴用待定系数求得M=

(Ⅱ)∵M=

,解得

再坐标转移法得y′=2sin(+

解析

解:(Ⅰ)设M=

矩阵M作用后分别变成=(2,2),=(2,4),

∴用待定系数求得M=

(Ⅱ)∵M=

,解得

再坐标转移法得y′=2sin(+

百度题库 > 高考 > 数学 > 平面与圆锥面的截线

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