热门试卷

解：（Ι）∵点A（a，b）（其中a≠b）在矩阵M= 对应变换的作用下得到的点为B（-b，a），

∴得       …（3分）

即M=，由M-1M=得M-1=．…（4分）

（Ⅱ）设P（x0，y0）是曲线C：x2+y2=1上任意一点，

则点P（x0，y0）在矩阵M对应的变换下变为点P′（x，y）

则有=，即

又∵点P在曲线C：x2+y2=1上，

∴4x2+y2=1，即曲线C‘的方程为椭圆4x2+y2=1．

解：设直线l上任意一点P（x，y）在矩阵M作用下的点P‘的坐标为（x'，y'），

则=，

所以…4分

将点P'（x'，y'）代入直线l'：x+y-4=0，

得（a-1）x+2y-4=0．

即直线l的方程为．

所以a=3．                                   …10分．

解：设矩阵M=，则

=，=，

∴，，

∴a=1，b=0，c=0.5，d=1，

∴M=，

∴=，

∴C′（0，1）．

解：设圆上一点（x，y）在矩阵A对应的变换下得点（x‘，y'），

则=，

∴，

代入圆x2+y2=1，得x'2+y'2=1，

∴曲线F的方程是x2+y2=1．

解：（I）解法一：由已知可得=2

∴

解之得

∴A=

解法二：矩阵的特征多项式为f（λ）=，

∵A的一个特征值为λ=2，其对应的特征向量为

∴λ，满足方程组

∴

∴

∴A=

（II）由f（λ）=（λ-1）（λ-4）+2=0，可得λ1=2，λ2=3

当λ2=3代入得

∴

令

∴

∴，∴

∴

∴

解：（Ⅰ）设直线2x-y-3=0上任意一点P（x，y）在变换TA的作用下变成点P‘（x'，y'），

由题意知2x'-y'-3=0，由=，

得x'=-x+ay，y'=bx+3y，

代入直线2x'-y'-3=0得2（-x+ay）-（bx+3y）-3=0，

即（-b-2）x+（2a-3）y-3=0，

由点P（x，y）的任意性可得-b-2=2，2a-3=-1，

解得a=1，b=-4．         

（2）A=，|A|=-3+4=1，

∴A-1=．

（Ⅰ）解：根据题意可得：直线l1经矩阵AB所对应的变换可直接得到直线l3

：，得l1变换到l3的变换公式，

则得到直线2ax+by+4=0  即直线l1：x-y+4=0，

则有，b=-1．

此时，同理可得l2的方程为2y-x+4=0

故答案为：x-2y-4=0．

（Ⅱ）解：直线的普通方程为x+y+1=0，

曲线即圆心为（1，-1）半径为4的圆．

则圆心（1，-1）到直线x+y+1=0的距离d=

设直线被曲线截得的弦长为t，则t=2，

∴直线被曲线截得的弦长为．

解：（1）==（2分）

得到，得到代入y2-x2=2，得（5分）

（2）曲线y2-x2=2的焦点坐标是（0，-2），（0，2），渐近线方程x±y=0，

将点（0，-2），（0，2）分别代入，得到（7分）

将代入，得到x′=0和y′=0；（9分）

矩阵变换后，曲线C′的焦点坐标是．曲线C′的渐近线方程为x=0和y=0．