- 平面与圆锥面的截线
- 共736题
下列各对矩阵,存在积AB的是( )
正确答案
解析
解:根据矩阵的意义可知,m行s列的矩阵A和s行n列的矩阵B才可乘,
即第一个矩阵的列数要等于第二个矩阵的行数.
选项A中,矩阵A是二行一列,矩阵B是二行一列,不可乘,故错;
选项B中,矩阵A是二行一列,矩阵B是二行二列,不可乘,故错;
选项A中,矩阵A是二行二列,矩阵B是二行一列,可乘,故正确;
选项A中,矩阵A是二行三列,矩阵B是二行一列,不可乘,故错;
故选C.
若点A(a,b)(其中a≠b)在矩阵M= 对应变换的作用下得到的点为B(-b,a),
(Ⅰ)求矩阵M的逆矩阵;
(Ⅱ)求曲线C:x2+y2=1在矩阵N=所对应变换的作用下得到的新的曲线C′的方程.
正确答案
解:(Ι)∵点A(a,b)(其中a≠b)在矩阵M= 对应变换的作用下得到的点为B(-b,a),
∴得
…(3分)
即M=,由M-1M=
得M-1=
.…(4分)
(Ⅱ)设P(x0,y0)是曲线C:x2+y2=1上任意一点,
则点P(x0,y0)在矩阵M对应的变换下变为点P′(x,y)
则有=
,即
又∵点P在曲线C:x2+y2=1上,
∴4x2+y2=1,即曲线C‘的方程为椭圆4x2+y2=1.
解析
解:(Ι)∵点A(a,b)(其中a≠b)在矩阵M= 对应变换的作用下得到的点为B(-b,a),
∴得
…(3分)
即M=,由M-1M=
得M-1=
.…(4分)
(Ⅱ)设P(x0,y0)是曲线C:x2+y2=1上任意一点,
则点P(x0,y0)在矩阵M对应的变换下变为点P′(x,y)
则有=
,即
又∵点P在曲线C:x2+y2=1上,
∴4x2+y2=1,即曲线C‘的方程为椭圆4x2+y2=1.
若矩阵M=把直线l:x+y-2=0变换为另一条直线l′:x+y-4=0,试求实数a值.
正确答案
解:设直线l上任意一点P(x,y)在矩阵M作用下的点P‘的坐标为(x',y'),
则=
,
所以…4分
将点P'(x',y')代入直线l':x+y-4=0,
得(a-1)x+2y-4=0.
即直线l的方程为.
所以a=3. …10分.
解析
解:设直线l上任意一点P(x,y)在矩阵M作用下的点P‘的坐标为(x',y'),
则=
,
所以…4分
将点P'(x',y')代入直线l':x+y-4=0,
得(a-1)x+2y-4=0.
即直线l的方程为.
所以a=3. …10分.
已知二阶矩阵M对应的变换将点O,A,B,C分别变成点O,A′,B′,C′,其中O为坐标原点,A(2,0),B(2,1),C(0,1),A′(2,1),B′(2,2).求矩阵M及点C′的坐标.
正确答案
解:设矩阵M=,则
=
,
=
,
∴,
,
∴a=1,b=0,c=0.5,d=1,
∴M=,
∴=
,
∴C′(0,1).
解析
解:设矩阵M=,则
=
,
=
,
∴,
,
∴a=1,b=0,c=0.5,d=1,
∴M=,
∴=
,
∴C′(0,1).
在平面直角坐标系xOy中,设圆x2+y2=1在矩阵A=对应的变换作用下得到曲线F,求曲线F的方程.
正确答案
解:设圆上一点(x,y)在矩阵A对应的变换下得点(x‘,y'),
则=
,
∴,
代入圆x2+y2=1,得x'2+y'2=1,
∴曲线F的方程是x2+y2=1.
解析
解:设圆上一点(x,y)在矩阵A对应的变换下得点(x‘,y'),
则=
,
∴,
代入圆x2+y2=1,得x'2+y'2=1,
∴曲线F的方程是x2+y2=1.
已知矩阵A=,A的一个特征值λ=2,其对应的特征向量是
=
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)若向量=
,计算A4
的值.
正确答案
解:(I)解法一:由已知可得=2
∴
解之得
∴A=
解法二:矩阵的特征多项式为f(λ)=,
∵A的一个特征值为λ=2,其对应的特征向量为
∴λ,满足方程组
∴
∴
∴A=
(II)由f(λ)=(λ-1)(λ-4)+2=0,可得λ1=2,λ2=3
当λ2=3代入得
∴
令
∴
∴,∴
∴
∴
解析
解:(I)解法一:由已知可得=2
∴
解之得
∴A=
解法二:矩阵的特征多项式为f(λ)=,
∵A的一个特征值为λ=2,其对应的特征向量为
∴λ,满足方程组
∴
∴
∴A=
(II)由f(λ)=(λ-1)(λ-4)+2=0,可得λ1=2,λ2=3
当λ2=3代入得
∴
令
∴
∴,∴
∴
∴
已知a,b∈R,若矩阵A=所对应的变换TA把直线l:2x-y=3变换为它自身.
(Ⅰ)求矩阵A;
(Ⅱ)求矩阵A的逆矩阵.
正确答案
解:(Ⅰ)设直线2x-y-3=0上任意一点P(x,y)在变换TA的作用下变成点P‘(x',y'),
由题意知2x'-y'-3=0,由=
,
得x'=-x+ay,y'=bx+3y,
代入直线2x'-y'-3=0得2(-x+ay)-(bx+3y)-3=0,
即(-b-2)x+(2a-3)y-3=0,
由点P(x,y)的任意性可得-b-2=2,2a-3=-1,
解得a=1,b=-4.
(2)A=,|A|=-3+4=1,
∴A-1=.
解析
解:(Ⅰ)设直线2x-y-3=0上任意一点P(x,y)在变换TA的作用下变成点P‘(x',y'),
由题意知2x'-y'-3=0,由=
,
得x'=-x+ay,y'=bx+3y,
代入直线2x'-y'-3=0得2(-x+ay)-(bx+3y)-3=0,
即(-b-2)x+(2a-3)y-3=0,
由点P(x,y)的任意性可得-b-2=2,2a-3=-1,
解得a=1,b=-4.
(2)A=,|A|=-3+4=1,
∴A-1=.
(Ⅰ)已知矩阵,矩阵B=
,直线l1:x-y+4=0经矩阵A所对应的变换得直线l2,直线l2又经矩阵B所对应的变换得到直线l3:x+y+4=0,求直线l2的方程.
(Ⅱ)求直线被曲线
截得的弦长.
正确答案
(Ⅰ)解:根据题意可得:直线l1经矩阵AB所对应的变换可直接得到直线l3
:,得l1变换到l3的变换公式
,
则得到直线2ax+by+4=0 即直线l1:x-y+4=0,
则有,b=-1.
此时,同理可得l2的方程为2y-x+4=0
故答案为:x-2y-4=0.
(Ⅱ)解:直线的普通方程为x+y+1=0,
曲线即圆心为(1,-1)半径为4的圆.
则圆心(1,-1)到直线x+y+1=0的距离d=
设直线被曲线截得的弦长为t,则t=2,
∴直线被曲线截得的弦长为.
解析
(Ⅰ)解:根据题意可得:直线l1经矩阵AB所对应的变换可直接得到直线l3
:,得l1变换到l3的变换公式
,
则得到直线2ax+by+4=0 即直线l1:x-y+4=0,
则有,b=-1.
此时,同理可得l2的方程为2y-x+4=0
故答案为:x-2y-4=0.
(Ⅱ)解:直线的普通方程为x+y+1=0,
曲线即圆心为(1,-1)半径为4的圆.
则圆心(1,-1)到直线x+y+1=0的距离d=
设直线被曲线截得的弦长为t,则t=2,
∴直线被曲线截得的弦长为.
(4-2 矩阵与变换选做题)已知曲线C:y2-x2=2.
(1)将曲线C绕坐标原点顺时针旋转45°后,求得到的曲线C′的方程;
(2)求曲线C的焦点坐标和渐近线方程.
正确答案
解:(1)=
=
(2分)
得到,得到
代入y2-x2=2,得
(5分)
(2)曲线y2-x2=2的焦点坐标是(0,-2),(0,2),渐近线方程x±y=0,
将点(0,-2),(0,2)分别代入,得到
(7分)
将代入,得到x′=0和y′=0;(9分)
矩阵变换后,曲线C′的焦点坐标是.曲线C′的渐近线方程为x=0和y=0.
解析
解:(1)=
=
(2分)
得到,得到
代入y2-x2=2,得
(5分)
(2)曲线y2-x2=2的焦点坐标是(0,-2),(0,2),渐近线方程x±y=0,
将点(0,-2),(0,2)分别代入,得到
(7分)
将代入,得到x′=0和y′=0;(9分)
矩阵变换后,曲线C′的焦点坐标是.曲线C′的渐近线方程为x=0和y=0.
已知圆C:x2+y2=4在矩阵A=对应伸压变换下变为一个椭圆,则此椭圆方程为______.
正确答案
解析
解:设P(x,y)为圆C上的任意一点,在矩阵A对应的变换下变为另一个点P‘(x',y'),则
=
,可得
,
代入x2+y2=4可得x′2+y′2=4
即.
故答案为:.
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