平面与圆锥面的截线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

把矩阵变为后，与对应的值是（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：把矩阵第一行乘-3加上第二行作为第二行

→第一列乘2加上第二列作为第二列

→第二行乘以

→，

对照得

故选C．

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题型：简答题

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简答题

已知对任意的平面向量，把绕其起点沿逆时针方向旋转θ角，得到向量，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点P

①已知平面内的点A（1，2），B，把点B绕点A沿逆时针方向旋转后得到点P，求点P的坐标

②设平面内曲线C上的每一点绕逆时针方向旋转后得到的点的轨迹是曲线x2-y2=1，求原来曲线C的方程．

正确答案

解：①设P（x，y），则，…（2分）

将绕点A沿逆时针方向旋转后得到，

所以=，=（-1，-3）…（6分）

∴，解得x=0，y=-1 …（7分）

∴点P的坐标为（0，-1）

②设平面内曲线C上的任一点Q（x，y），绕O逆时针方向旋转后得到的点Q′（x′，y′），则

…（10分）

即…（11分）

又x′2-y′2=1 …（12分）

∴…（13分）

化简得：…（14分）

解析

解：①设P（x，y），则，…（2分）

将绕点A沿逆时针方向旋转后得到，

所以=，=（-1，-3）…（6分）

∴，解得x=0，y=-1 …（7分）

∴点P的坐标为（0，-1）

②设平面内曲线C上的任一点Q（x，y），绕O逆时针方向旋转后得到的点Q′（x′，y′），则

…（10分）

即…（11分）

又x′2-y′2=1 …（12分）

∴…（13分）

化简得：…（14分）

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题型：填空题

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填空题

将函数（x∈[0，6]）的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则α的最大值为______．

正确答案

arctan

解析

解：先画出函数（x∈[0，6]）的图象

这是一个圆弧，圆心为M（3，-2）

由图可知当此圆弧绕坐标原点逆时针方向旋转角大于∠MAB时，

曲线C都不是一个函数的图象

∴∠MAB=arctan

故答案为：arctan

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题型：填空题

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填空题

行列式D=中元素7的代数余子式是______．

正确答案

-

解析

解：由题意得元素7的代数余子式是-．

故答案为：-．

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题型：填空题

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填空题

甲要给乙发送一个数字信息“a11a21a12a22”，双方约定利用左乘矩阵转换为密码发送，现在乙得到密码是4，12，32，64，那么甲发送给的数字信息是______．

正确答案

2008

解析

解：由题意，A=，

则==，

又由AX=，

∴•=，

即发送的数据信息是2008．

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题型：简答题

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简答题

选修4-2：矩阵与变换

已知曲线C&：y2=2x，在矩阵M=对应的变换作用下得到曲线C1，C1在矩阵N=对应的变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程．

正确答案

解：NM==

设P（x，y）为曲线C2上任意一点，P′（x′，y′）为曲线y2=2x上与P对应的点，

=，得 ∴（5分）

∵P′是曲线C1上的点，

∴C2的方程（-x）2=2y．即y=（10分）

解析

解：NM==

设P（x，y）为曲线C2上任意一点，P′（x′，y′）为曲线y2=2x上与P对应的点，

=，得 ∴（5分）

∵P′是曲线C1上的点，

∴C2的方程（-x）2=2y．即y=（10分）

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题型：单选题

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单选题

将直线y=x绕原点逆时针旋转60°，所得到的直线为（　　）

Ax=0

By=0

Cy=x

Dy=-x

正确答案

D

解析

解：∵直线y=x经过原点，倾斜角为60°

∴直线y=x绕原点逆时针旋转60°后，倾斜角为120°

且仍然经过原点

因此，旋转后的直线斜率k=tan120°=-，

方程为y=-x

故选：D

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题型：简答题

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简答题

A．选修4-1：几何证明选讲

锐角三角形ABC内接于⊙O，∠ABC=60？，∠BAC=40？，作OE⊥AB交劣弧于点E，连接EC，求∠OEC．

B．选修4-2：矩阵与变换

曲线C1=x2+2y2=1在矩阵M=[]的作用下变换为曲线C2，求C2的方程．

C．选修4-4：坐标系与参数方程

P为曲线C1：（θ为参数）上一点，求它到直线C2：（t为参数）距离的最小值．

D．选修4-5：不等式选讲

设n∈N*，求证：++L+≤．

正确答案

A．选修4-1：几何证明选讲

解：连OC．∵∠ABC=60°，∠BAC=40°，∴∠ACB=80°．（4分）

∵OE⊥AB，∴E为的中点，∴和的度数均为80°．

∴∠EOC=80°+80°=160°．（8分）

∴∠OEC=10°．（10分）

B．选修4-2：矩阵与变换

解：设P（x，y）为曲线C2上任意一点，P′（x′，y′）为曲线C2上与P对应的点，

，∴（5分）

∵P′是曲线C1上的点，∴C2的方程（x-2y）2+y2=1．（10分）

C．选修4-4：坐标系与参数方程

解：将曲线C1化成普通方程（x-1）2+y2=1，圆心是（1，0），

直线C2化成普通方程是y-2=0，则圆心到直线的距离为2．（5分）

∴曲线C1上点到直线的距离为1，该点为（1，1）．（10分）

D．选修4-5：不等式选讲

证明：由柯西不等式，得：

（++…+）2≤（1+1+…+1）（Cn1+Cn2+…Cn2+）=n（2n-1）

∴++…+≤．

解析

A．选修4-1：几何证明选讲

解：连OC．∵∠ABC=60°，∠BAC=40°，∴∠ACB=80°．（4分）

∵OE⊥AB，∴E为的中点，∴和的度数均为80°．

∴∠EOC=80°+80°=160°．（8分）

∴∠OEC=10°．（10分）

B．选修4-2：矩阵与变换

解：设P（x，y）为曲线C2上任意一点，P′（x′，y′）为曲线C2上与P对应的点，

，∴（5分）

∵P′是曲线C1上的点，∴C2的方程（x-2y）2+y2=1．（10分）

C．选修4-4：坐标系与参数方程

解：将曲线C1化成普通方程（x-1）2+y2=1，圆心是（1，0），

直线C2化成普通方程是y-2=0，则圆心到直线的距离为2．（5分）

∴曲线C1上点到直线的距离为1，该点为（1，1）．（10分）

D．选修4-5：不等式选讲

证明：由柯西不等式，得：

（++…+）2≤（1+1+…+1）（Cn1+Cn2+…Cn2+）=n（2n-1）

∴++…+≤．

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题型：简答题

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简答题

二阶矩阵M=；

（1）求点A（1，-1）在变换M作用下得到的点A′；

（2）设直线l在变换M作用下得到了直线m：x-y=4，求l的方程．

正确答案

解：（1）设A‘（x'，y'）

则=

解得A'（-1，-1）…（6分）（

2）设直线l上任一点为P（x，y），点P在M的作用下得到点Q（x'，y'）在m上，

则=且x'-y'=4 …（12分）

∴（x+2y）-（3x+4y）=4，

即x+y+2=0 即为所求直线方程…（14分）

解析

解：（1）设A‘（x'，y'）

则=

解得A'（-1，-1）…（6分）（

2）设直线l上任一点为P（x，y），点P在M的作用下得到点Q（x'，y'）在m上，

则=且x'-y'=4 …（12分）

∴（x+2y）-（3x+4y）=4，

即x+y+2=0 即为所求直线方程…（14分）

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题型：简答题

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简答题

如图矩形OABC在变换T的作用下变成了平行四边形OA′B′C′，求变换T所对应的矩阵M．

正确答案

解：由矩形OABC变换成平行四边形OA‘B'C'可以看成先将矩形OABC绕着O点旋转90°，

得到矩形OA''B''C''，然后再将矩形OA''B''C''作切变变换得到平行四边形OA'B'C'．

故旋转变换矩阵为：M=

切变变换：

∴切变变换矩阵为N=

∴矩阵MN=

解析

解：由矩形OABC变换成平行四边形OA‘B'C'可以看成先将矩形OABC绕着O点旋转90°，

得到矩形OA''B''C''，然后再将矩形OA''B''C''作切变变换得到平行四边形OA'B'C'．

故旋转变换矩阵为：M=

切变变换：

∴切变变换矩阵为N=

∴矩阵MN=

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