平面与圆锥面的截线
共736题

平面与圆锥面的截线
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题型：简答题

简答题

（矩阵与变换）

设a，b∈R，若矩阵把直线l：2x+y-7=0变换为另一直线l′：9x+y-91=0，求ab的值．

正确答案

解：设矩阵将点（x，y）变换成点（m，n），则有，又，所以，所以ab=39．

解析

解：设矩阵将点（x，y）变换成点（m，n），则有，又，所以，所以ab=39．

题型：填空题

填空题

若三阶行列式第2行第1列元素的代数余子式为6，则k=______．

正确答案

解析

解：由题意得M21=（-1）3=2×2+1×k=6

解得：k=2．

故答案为：2．

题型：填空题

填空题

直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为______．

正确答案

解析

解：∵直线y=3x绕原点逆时针旋转90°

∴直线斜率互为负倒数

∴直线y=3x变为，

∵向右平移1个单位

∴y=-

故答案为：

题型：填空题

填空题

在同一平面直角坐标系中，直线x-2y=2变成直线2x′-y′=4的伸缩变换是______．

正确答案

解析

解：直线2x′-y′=4即直线x′-y′=2．

将直线x-2y=2变成直线2x′-y′=4即直线x′-y′=2，

故变换时横坐标不变，纵坐标变为原来的4倍，

即有伸缩变换是．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

设坐标平面上全部向量的集合为V，=（a1，a2）为V内一个单位向量，已知从V到V的变换T由T（）=-+2（•）（∈V）确定．

（1）对于V中的任意两个向量，，求证：T（）•T（）=•；

（2）对于V中的任意向量，计算T[T（）]-；

（3）设=（1，0），=（0，1），若T（）=，求．

正确答案

（1）证明：∵T（）=-+2（•）（∈V），

∴T（）•T（）=（-+2（•））•（）

=-2（•）-2（）+4

=-4（•）（）+4．

∵=（a1，a2）为V内一个单位向量

∴，

∴T（）•T（）=．

（2）∵T（）=-+2（•）（∈V），

∴T[T（）]-=T[-+2（•）]-

=-[-+2（•）]+2{[-+2（•）]•}-

=-2（•）+[-2•+4（•）•]-

=-2（•）-2（•）+4（•）-

=．

（3）∵T（）=-+2（•）（∈V），T（）=，

∴-+2（•）=．

设，

∵=（1，0），=（0，1），

∴-=（-1，0），

解析

（1）证明：∵T（）=-+2（•）（∈V），

∴T（）•T（）=（-+2（•））•（）

=-2（•）-2（）+4

=-4（•）（）+4．

∵=（a1，a2）为V内一个单位向量

∴，

∴T（）•T（）=．

（2）∵T（）=-+2（•）（∈V），

∴T[T（）]-=T[-+2（•）]-

=-[-+2（•）]+2{[-+2（•）]•}-

=-2（•）+[-2•+4（•）•]-

=-2（•）-2（•）+4（•）-

=．

（3）∵T（）=-+2（•）（∈V），T（）=，

∴-+2（•）=．

设，

∵=（1，0），=（0，1），

∴-=（-1，0），

题型：简答题

简答题

求使等式[]=[]M[]成立的矩阵M．

正确答案

解：设M=，则

[]M=[]=，

∴[]M[]=[]=，

∵[]=[]M[]，

∴[]=，

∴a=1，b=-2，c=1.5，d=-2，

∴M=．

解析

解：设M=，则

[]M=[]=，

∴[]M[]=[]=，

∵[]=[]M[]，

∴[]=，

∴a=1，b=-2，c=1.5，d=-2，

∴M=．

题型：填空题

填空题

设矩阵A=，B=，若BA=，则x=______．

正确答案

解析

解：∵A=，B=，BA=，

∴4×2-2x=4；

解得，x=2；

故答案为：2．

题型：简答题

简答题

已知矩阵A=，点M（-1，1），N（0，2）．求线段MN在矩阵A-1对应的变换作用下得到线段M′N′的长度．

正确答案

解：设，则，

所以，

解得a=2，b=1，c=3，d=0，即．

由，，知点M‘（-1，-3），N'（2，0），

所以．

解析

解：设，则，

所以，

解得a=2，b=1，c=3，d=0，即．

由，，知点M‘（-1，-3），N'（2，0），

所以．

题型：简答题

简答题

A、已知：如图，在△ABC中，∠ABC=90°，O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的圆与AB交于点E，与AC切于点D，连接DB、DE、OC．若AD=2，AE=1，求CD的长．

B．运用旋转矩阵，求直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程．

C．已知A是曲线ρ=3cosθ上任意一点，求点A到直线ρcosθ=1距离的最大值和最小值．

D．证明不等式：+++L+＜2．

正确答案

A．解：根据切割线定理可知AD2=AE•AB，

∵AD=2，AE=1

∴AB=4，EB=3，

∵AB是圆的直径

∴DE⊥DB

∵DE⊥OC

∴DE∥OC

∴△ADE∽△ACO，

∴CD=3

B．设直线2x+y-1=0上任意一点（x0，y0）旋转变换后（x0′，y0′）

∵逆时针旋转45°

∴旋转矩阵为

∴=

∴

∴直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程是

C．将极坐标方程转化成直角坐标方程：

ρ=3cosθ，两边同乘以ρ，即得：x2+y2=3x，

∴圆的方程为（x-）2+y2=，

又ρcosθ=1即x=1，

∴直线与圆相交

∴所求最大值为2，最小值为0．

D．证明：+++L+＜

=，

从而得证．

解析

A．解：根据切割线定理可知AD2=AE•AB，

∵AD=2，AE=1

∴AB=4，EB=3，

∵AB是圆的直径

∴DE⊥DB

∵DE⊥OC

∴DE∥OC

∴△ADE∽△ACO，

∴CD=3

B．设直线2x+y-1=0上任意一点（x0，y0）旋转变换后（x0′，y0′）

∵逆时针旋转45°

∴旋转矩阵为

∴=

∴

∴直线2x+y-1=0绕原点逆时针旋转45°后所得的直线方程是

C．将极坐标方程转化成直角坐标方程：

ρ=3cosθ，两边同乘以ρ，即得：x2+y2=3x，

∴圆的方程为（x-）2+y2=，

又ρcosθ=1即x=1，

∴直线与圆相交

∴所求最大值为2，最小值为0．

D．证明：+++L+＜

=，

从而得证．

题型：简答题

简答题

已知矩阵A=，向量=．求向量，使得A2a=b．

正确答案

解：∵矩阵A=，

∴A2==，

设=，由A2=得=，

即，解得，

所以=．

解析

解：∵矩阵A=，

∴A2==，

设=，由A2=得=，

即，解得，

所以=．

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已完结

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