平面与圆锥面的截线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知线性变换f对应的矩阵M=，线性变换g对应的矩阵N的属于特征值λ=-1的一个特征向量=，向量=在线性变换g作用下得到的像为=；

（1）求矩阵M的逆矩阵；

（2）求矩阵N；

（3）已知曲线C依次作线性变换f和g，得到曲线C′：x+5y+4=0，求曲线C的方程．

正确答案

解：（1）∵M=，∴|M|=-2，

∴M-1=--------------------------------3

（2）设N=，则=，=，即

解得a=2，b=3，c=2，d=1，

所以N=----------------6分

（3）依次作线性变换f和g对应的矩阵NM===，

设曲线C上任一点P（x，y）在矩阵NM对应的线性变换作用下得到的像为P′（x′，y′），

则代入曲线C′得3x+y+5（x+3y）+4=0，即2x+4y+1=0

所求曲线C的方程为2x+4y+1=0．--------------10分．

解析

解：（1）∵M=，∴|M|=-2，

∴M-1=--------------------------------3

（2）设N=，则=，=，即

解得a=2，b=3，c=2，d=1，

所以N=----------------6分

（3）依次作线性变换f和g对应的矩阵NM===，

设曲线C上任一点P（x，y）在矩阵NM对应的线性变换作用下得到的像为P′（x′，y′），

则代入曲线C′得3x+y+5（x+3y）+4=0，即2x+4y+1=0

所求曲线C的方程为2x+4y+1=0．--------------10分．

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题型：简答题

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简答题

已知矩阵的某个行向量的模不大于行列式中元素0的代数余子式的值，求实数x的取值范围．

正确答案

解：∵行列式，

∴行列式中元素0的代数余子式的值为-=2．

∵矩阵的行向量分别为，，

∴||=．

由题意：||≤2，

∴，

∴|x|≥3，

∴x≤-3或x≥3．

∴实数x的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）．

解析

解：∵行列式，

∴行列式中元素0的代数余子式的值为-=2．

∵矩阵的行向量分别为，，

∴||=．

由题意：||≤2，

∴，

∴|x|≥3，

∴x≤-3或x≥3．

∴实数x的取值范围是（-∞，-3]∪[3，+∞）．

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题型：填空题

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填空题

将曲线x+y2=1绕原点逆时针旋转45°后，得到的曲线C方程为______．

正确答案

解析

解：由题设条件，M==，

由=，解得，

代入x+y2=1，可得曲线C的方程为．

故答案为：．

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题型：简答题

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简答题

如果曲线x2+4xy+3y2=1在矩阵的作用下变换得到曲线x2-y2=1，求a+b的值．

正确答案

解：∵x2+4xy+3y2=1

∴（x+2y）2-y2=1在矩阵的作用下变换得到曲线x2-y2=1，

则（x+2y，y）在矩阵的作用变为（x，y）

即==

∴2+a=0，b=0解得a=-2，b=0

∴a+b=-2

解析

解：∵x2+4xy+3y2=1

∴（x+2y）2-y2=1在矩阵的作用下变换得到曲线x2-y2=1，

则（x+2y，y）在矩阵的作用变为（x，y）

即==

∴2+a=0，b=0解得a=-2，b=0

∴a+b=-2

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题型：简答题

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简答题

已知矩阵m=，α=，试计算：M10α．

正确答案

解：∵矩阵M=，

∴矩阵M的特征多项式为：

f（λ）==λ2-λ+2．

令f（λ）=0，

得到：λ1=-1，λ2=2．

当λ1=-1时，对应的一个特征向量为=，

当λ2=2时，对应的一个特征向量为=，

∵=，

∴M10=M10

=3×（-1）10-2×210

=．

解析

解：∵矩阵M=，

∴矩阵M的特征多项式为：

f（λ）==λ2-λ+2．

令f（λ）=0，

得到：λ1=-1，λ2=2．

当λ1=-1时，对应的一个特征向量为=，

当λ2=2时，对应的一个特征向量为=，

∵=，

∴M10=M10

=3×（-1）10-2×210

=．

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题型：单选题

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单选题

将直线x+y=0绕原点按顺时针方向旋转30°，所得直线与圆（x-2）2+y2=3的位置关系是（　　）

A直线与圆相离

B直线与圆相交但不过圆心

C直线与圆相切

D直线过圆心

正确答案

C

解析

解：∵直线x+y=0的斜率k=-，∴直线的倾斜角α满足tanα=-，

结合α∈[0°，180°），可得α=150°

因此，将直线x+y=0绕原点按顺时针方向旋转30°，所得直线的倾斜角等于120°

斜率变为k‘=tan120°=-，

∴旋转后的直线方程为y=-x，即x+y=0

圆（x-2）2+y2=3的圆心为C（2，0），半径r=

∵圆心C到直线x+y=0的距离为d===r

∴所得直线与圆（x-2）2+y2=3相切

故选：C

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题型：简答题

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简答题

已知直线l：ax-y=0在矩阵A=[]对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点（1，1），求实数a的值．

正确答案

解：设P（x，y）为直线l上任意一点，在矩阵A对应的变换下变为直线l′上点P′（x′，y′），则

=[]，

化简，得 …（4分）

代入ax-y=0，整理，得-（2a+1）x′+ay′=0． …（8分）

将点（1，1）代入上述方程，解得a=-1． …（10分）

解析

解：设P（x，y）为直线l上任意一点，在矩阵A对应的变换下变为直线l′上点P′（x′，y′），则

=[]，

化简，得 …（4分）

代入ax-y=0，整理，得-（2a+1）x′+ay′=0． …（8分）

将点（1，1）代入上述方程，解得a=-1． …（10分）

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题型：填空题

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填空题

在同一坐标系中，将曲线4x2+9y2=36变为曲线x′2+y′2=1的伸缩变换是______．

正确答案

解析

解：曲线4x2+9y2=36可化为，

∵将曲线4x2+9y2=36变为曲线x′2+y′2=1，

∴，

故答案为：．

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题型：单选题

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单选题

将点P（-2，2）变换为P′（-6，1）的伸缩变换公式为（　　）

A

B

C

D

正确答案

C

解析

解：将点P（-2，2）变换为P′（-6，1），

横坐标变为原来的3倍，纵坐标变为原来的倍，

故选：C．

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题型：简答题

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简答题

已知矩阵M=，N=，

（Ⅰ）求二阶矩阵X，使MX=N；

（Ⅱ）求圆x2+y2=1在矩阵X变换下的曲线方程．

正确答案

解：（Ⅰ）由于，

∴M-1=，

∴X=M-1N=；

（Ⅱ）设圆上任意一点（x，y）在矩阵X对应的变换作用下变为（x′，y′），

则，

所以作用后的曲线方程为y=0（-1≤x≤1）．

解析

解：（Ⅰ）由于，

∴M-1=，

∴X=M-1N=；

（Ⅱ）设圆上任意一点（x，y）在矩阵X对应的变换作用下变为（x′，y′），

则，

所以作用后的曲线方程为y=0（-1≤x≤1）．

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