平面与圆锥面的截线_章节学习

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题型：单选题

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单选题

有矩阵A3×2，B2×3，C3×3，下列运算可行的是（　　）

AAC

BBAC

CABC

DAB-AC

正确答案

C

解析

解：由题意，AB=D3×3，ABC是DC=E3×3，

故选：C

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题型：简答题

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简答题

已知曲线C1：y=绕原点逆时针旋转45°后可得到曲线C2：y2-x2=2，

（Ⅰ）求由曲线C1变换到曲线C2对应的矩阵M1；

（Ⅱ）若矩阵M2=，求曲线C1依次经过矩阵M1，M2对应的变换T1，T2变换后得到的曲线方程．

正确答案

解：（I）∵曲线C1：y=绕原点逆时针旋转45°后得到曲线C2：y2-x2=2，

∴旋转变换矩阵M1==；

（II）设依次经过矩阵M1，M2对应的变换T1，T2对应的矩阵M=M2M1=

任取曲线C1：y=上的一点P（x，y），它在变换TM作用下变成点P′（x′，y′），则有，∴

又点P在C1：y=上，得到=1，即．

解析

解：（I）∵曲线C1：y=绕原点逆时针旋转45°后得到曲线C2：y2-x2=2，

∴旋转变换矩阵M1==；

（II）设依次经过矩阵M1，M2对应的变换T1，T2对应的矩阵M=M2M1=

任取曲线C1：y=上的一点P（x，y），它在变换TM作用下变成点P′（x′，y′），则有，∴

又点P在C1：y=上，得到=1，即．

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题型：填空题

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填空题

设矩阵=（）．

（Ⅰ）已知曲线C1：y-x+1=0在矩阵-1对应变换作用下得到曲线C2，求曲线C2的方程；

（Ⅱ）已知=（），计算M3的值．

正确答案

解析

解：（Ⅰ）MM-1=

设P（x0，y0）是曲线C1：y-x+1=0上任意一点，则点P（x0，y0）在矩阵MM-1对应的变换下变为点P′（x，y）

则有，∴，

∴4x+3y-x-2y+1=0，即3x+y+1=0；

（Ⅱ）f（λ）==0，可得λ=-1或5，

属于λ=-1的特征向量为，属于λ=5的特征向量为，

=（）=2+3，

∴M3=24+34=．

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题型：简答题

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简答题

设A是由m×n个实数组成的m行n列的数表，如果某一行（或某一列）各数之和为负数，则改变该行（或该列）中所有数的符号，称为一次“操作”．

（Ⅰ）数表A如表1所示，若经过两次“操作”，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负实数，请写出每次“操作”后所得的数表（写出一种方法即可）；

表1

（Ⅱ）数表A如表2所示，若必须经过两次“操作”，才可使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数，求整数a的所有可能值；

表2

（Ⅲ）对由m×n个实数组成的m行n列的任意一个数表A，能否经过有限次“操作”以后，使得到的数表每行的各数之和与每列的各数之和均为非负整数？请说明理由．

正确答案

解：（I）

法1：

改变第4列得：

改变第2行得：

法2：

改变第2行得：

改变第4列得：

法3：

改变第1列得：

改变第4列得：

（写出一种即可） …（3分）

（II）每一列所有数之和分别为2，0，-2，0，每一行所有数之和分别为-1，1；

①如果操作第三列，则

则第一行之和为2a-1，第二行之和为5-2a，

，解得a=1，a=2．…（6分）

②如果操作第一行

则每一列之和分别为2-2a，2-2a2，2a-2，2a2

解得a=1 …（9分）

综上a=1 …（10分）

（III）证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）

由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，

从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1-（-1）=2，

但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，

显然，数表中mn个数之和必然小于等于，

可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …（13分）

解析

解：（I）

法1：

改变第4列得：

改变第2行得：

法2：

改变第2行得：

改变第4列得：

法3：

改变第1列得：

改变第4列得：

（写出一种即可） …（3分）

（II）每一列所有数之和分别为2，0，-2，0，每一行所有数之和分别为-1，1；

①如果操作第三列，则

则第一行之和为2a-1，第二行之和为5-2a，

，解得a=1，a=2．…（6分）

②如果操作第一行

则每一列之和分别为2-2a，2-2a2，2a-2，2a2

解得a=1 …（9分）

综上a=1 …（10分）

（III）证明：按要求对某行（或某列）操作一次时，则该行的行和（或该列的列和）

由负整数变为正整数，都会引起该行的行和（或该列的列和）增大，

从而也就使得数阵中mn个数之和增加，且增加的幅度大于等于1-（-1）=2，

但是每次操作都只是改变数表中某行（或某列）各数的符号，而不改变其绝对值，

显然，数表中mn个数之和必然小于等于，

可见其增加的趋势必在有限次之后终止，终止之时必然所有的行和与所有的列和均为非负整数，故结论成立 …（13分）

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题型：简答题

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简答题

已知矩阵M=，若向量在矩阵M的交换下得到向量

（Ⅰ）求矩阵M；

（Ⅱ）矩阵N=，求直线x+y+1=0在矩阵NM的对应变换作用下得到的曲线方程．

正确答案

解：（Ⅰ）由…（1分）

得，解得a=0，b=4…（2分）

∴…（3分）

（Ⅱ）

解析

解：（Ⅰ）由…（1分）

得，解得a=0，b=4…（2分）

∴…（3分）

（Ⅱ）

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题型：简答题

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简答题

（“选修4-2矩阵与变换”）

已知y=f（x）的图象（如图1）经A=作用后变换为曲线C（如图2）．

（Ⅰ）求矩阵A；

（Ⅱ）求矩阵A的特征值．

正确答案

解：（Ⅰ）由于y=f（x）的图象上的点（π，0）经A=作用后变换为（，0），

∴= 解得 a=，c=0，

由于y=f（x）的图象上的点（，1）经A=作用后变换为为（，1），

∴ 解得 b=0，d=1，

∴A=；

（Ⅱ）由题意得

∴（）（λ-1）=0，

解得或λ=1

∴矩阵A的特征值是与1．

解析

解：（Ⅰ）由于y=f（x）的图象上的点（π，0）经A=作用后变换为（，0），

∴= 解得 a=，c=0，

由于y=f（x）的图象上的点（，1）经A=作用后变换为为（，1），

∴ 解得 b=0，d=1，

∴A=；

（Ⅱ）由题意得

∴（）（λ-1）=0，

解得或λ=1

∴矩阵A的特征值是与1．

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题型：单选题

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单选题

将函数（x∈[0，2]）图象绕原点逆时针方向旋转角θ（0≤θ≤α），得到曲线C．若对于每一个旋转角θ，曲线C都是一个函数的图象，则a的最大值是（　　）

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解：由题意，函数图象如图所示，函数在[0，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数．

设函数在x=0 处，切线斜率为k，则k=f‘（0）

∵f'（x）=•，

∴∴k=f'（0）=1，可得切线的倾斜角为45°，

因此，要使旋转后的图象仍为一个函数的图象，旋转θ后的切线倾斜角最多为 90°，也就是说，最大旋转角为90°-45°=45°，即θ的最大值为45°

故选B．

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题型：填空题

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填空题

若，则m=______ n=______．

正确答案

2

1

解析

解：由题意，

∵

∴

∴m=2，n=1

故答案为：2，1

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题型：简答题

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简答题

（1）如图，向量被矩阵M作用后分别变成，

（Ⅰ）求矩阵M；（Ⅱ）并求在M作用后的函数解析式；

（2）已知在直角坐标系x0y内，直线l的参数方程为．以Ox为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．若C与L的交点为P，求点P与点A（-2，0）的距离|PA|

正确答案

解：（Ⅰ）（1）待定系数设M=求得

（Ⅱ）再坐标转移法得

（2）曲线C化为直角坐标为：x+y=1，将（t为参数）代入C得：t=，所以|PA|=

解析

解：（Ⅰ）（1）待定系数设M=求得

（Ⅱ）再坐标转移法得

（2）曲线C化为直角坐标为：x+y=1，将（t为参数）代入C得：t=，所以|PA|=

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题型：填空题

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填空题

定义行列式运算=a1b2-a2b2，将函数f（x）=的图象向左平移t（t＞0）个单位，所得图象对应的函数为奇函数，则t的最小值为______．

正确答案

解析

解：由题意可得函数f（x）==cos2x-sin2x=-2sin（2x-），

把它的图象向左平移t（t＞0）个单位，得到的图象对应的函数为y=-2sin[2（x+t）-]，

由于y=-2sin[2（x+t）-]=-sin（2x+2t-）为奇函数，∴2t-=kπ，k∈z．

∴t的最小值为，

故答案为：．

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