热门试卷

解：（Ⅰ）∵M=，N=

∴矩阵MN==；

（Ⅱ）设P′（x，y），则==，

∴P′（0，-1）．

解：设该二阶矩阵为M=，

由题意得=，=，

所以，

解得，a=2，b=1，c=-1，d=2．

即 ．

（1）解：（I）由题意，，∴，∴a=1，b=2

∴矩阵M=；

（Ⅱ）由（I）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2）

∴矩阵M的另一个特征值为λ2=1

设是矩阵M属于特征值1的特征向量，则

∴，取x=1，则

∴

∴=

（2）（I）由消去θ可得（x-2）2+y2=1；

（Ⅱ）将原点移至A（1，0），则相应曲线C的方程为（x-1）2+y2=1，即x2+y2-2x=0

∴曲线C的极坐标方程为ρ-2cosθ=0

（3）（I）证明：左边-右边=a2y2+b2x2-2abxy=（ay-bx）2≥0，∴左边≥右边

即

（Ⅱ）令u=x+y，v=x-y，则

∵，∴（u+v）2+（u-v）2=8，∴u2+v2=4

由柯西不等式得：，当且仅当，即或时，的最小值是1．

解：（1）直线ρcosθ=即x=，曲线ρ=2cosθ 即ρ2=2ρcosθ，即（x-1）2+y2=1，

表示以C（1，0）为圆心，以1为半径的圆．如图．

Rt△ADC中，∵cos∠ACO==，∴∠ACO=，

在△AOC中，AC=OC，∴∠AOC=，∴∠AOB=2∠AOC=…（5分）

（2）曲线C：（x-1）2+y2=1，向左平移一个单位再经过伸缩变换得到曲线C′的直角坐标方程为，

设M（2cosα，sinα），所以x2-xy+2y2=3+2cos（2α+）

∴时，x2-xy+2y2的最小值为1

此时点M的坐标为（1，）或（-1，-）…（10分）

（1）解：（Ⅰ）因为   =，

所以，=，即 m=1．…（3分）

（Ⅱ）因为M=，所以 M-1=．…（4分）

设曲线 y2-x+y=0上任意一点（x，y）在矩阵M-1所对应的线性变换作用下的像是（x′，y′），

由 = =，…（5分）

所以 得 代入曲线 y2-x+y=0得 y′2=x′．…（6分）

由 （x，y）的任意性可知，

曲线 y2-x+y=0在矩阵 M-1对应的线性变换作用下的曲线方程为 y2=x．…（7分）

（2）解：（Ⅰ）由点M的极坐标为（4，）得点M的直角坐标为（4，4），

所以直线OM的直角坐标方程为y=x．…（3分）

（Ⅱ）由曲线C的参数方程 （α为参数）

化为普通方程为 （x-1）2+y2=2，…（5分）

圆心为A（1，0），半径为r=．

由于点M在曲线C外，故点M到曲线C上的点的距离最小值为MA-r=5-．…（7分）

（3）解：（Ⅰ）由2a+b=9得9-b=2a，即|6-b|=2|a|．

所以|9-b|+|a|＜3可化为3|a|＜3，即|a|＜1，解得-1＜a＜1．

所以a的取值范围（-1，1）．…（4分）

（Ⅱ）因为a，b＞0，所以 z=a2 b=a•a•b≤=33=27，…（6分）

当且仅当a=b=3时，等号成立． 故z的最大值为27．…（7分）

解：（Ⅰ）该方程组有唯一解，即=-a-4≠0，解得a≠-4．…（3分）

（Ⅱ）由题意可知当a=2时，λ即为矩阵的特征值．

由=λ2-λ-6=0，…（5分）

解得λ=3，λ=-2．…（7分）