平面与圆锥面的截线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

已知矩阵A=，B=．

（Ⅰ）求A-1以及满足AX=B的矩阵X．

（Ⅱ）求曲线C：x2-4xy+y2=1在矩阵B所对应的线性变换作用下得到的曲线C′的方程．

正确答案

解：（I）∵，…（4分）

∴．…（7分）

（II）矩阵B所对应的线性变换为，∴，…（9分）

代入x2-4xy+y2=1得：-3x‘2+y'2=1…（12分）

即所求曲线C'的方程为：3x2-y2+1=0…（13分）

解析

解：（I）∵，…（4分）

∴．…（7分）

（II）矩阵B所对应的线性变换为，∴，…（9分）

代入x2-4xy+y2=1得：-3x‘2+y'2=1…（12分）

即所求曲线C'的方程为：3x2-y2+1=0…（13分）

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题型：简答题

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简答题

已知△ABC，A（-1，0），B（3，0），C（2，1），对它先作关于x轴的反射变换，再将所得图形绕原点逆时针旋转90°．

（1）分别求两次变换所对应的矩阵M1，M2；

（2）求点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标．

正确答案

解：（1）M1=；

（2）∵M=M2M1=，∴．

故点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标是（1，2）．

解析

解：（1）M1=；

（2）∵M=M2M1=，∴．

故点C在两次连续的变换作用下所得到的点的坐标是（1，2）．

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系中，

（1）求曲线y2=2x经过伸缩变换后得到的曲线的方程；

（2）曲线C经过伸缩变换后得到的曲线的方程为x‘2+9y'2=9，求曲线C的方程．

正确答案

解：（1）由伸缩变换得，将此式代入曲线y2=2x，得=，即y′2=x′．

（2）由题意，把伸缩变换公式代入曲线方程为x‘2+9y'2=9，得（3x）2+9y2=9，即x2+y2=1．

∴曲线c的方程为x2+y2=1．

解析

解：（1）由伸缩变换得，将此式代入曲线y2=2x，得=，即y′2=x′．

（2）由题意，把伸缩变换公式代入曲线方程为x‘2+9y'2=9，得（3x）2+9y2=9，即x2+y2=1．

∴曲线c的方程为x2+y2=1．

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题型：填空题

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填空题

已知变换M=，点A（2，-1）在变换M下变换为点A′（a，1），则a+b=______．

正确答案

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解析

解：由题意，=，

∴a=2，b=-1，

∴a+b=1．

故答案为：1

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题型：简答题

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简答题

已知对任意平面向量=（x，y），我们把绕其起点A沿逆时针方向旋转θ角得到向量=（xcosθ-ysinθ，xsinθ+ycosθ），称为逆旋θ角到．

（1）把向量=（2，-1）逆旋角到，试求向量．

（2）设平面内函数y=f （x）图象上的每一点M，把逆旋角到后（O为坐标原点），得到的N点的轨迹是曲线x2-y2=3，当函数F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三个不同的零点时，求实数λ的取值范围．

正确答案

解：（1）由题意，=（2cos+sin，2sin-cos）=（）；

（2）设M（x，y），N（x0，y0），则x02-y02=3

∵逆旋角到，∴（xcos-ysin，xsin+ycos）=（x0，y0），

∴x0=，y0=，

∵x02-y02=3，∴可得y=-，即f（x）=-

函数F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三个不同的零点，等价于=x|x-1|-2x（x≠0）有三个不同实数解．

设g（x）=x|x-1|-2x=，图象如图

∵=x|x-1|-2x（x≠0）有三个不同实数解

∴，且≠0

∴，且λ≠0．

解析

解：（1）由题意，=（2cos+sin，2sin-cos）=（）；

（2）设M（x，y），N（x0，y0），则x02-y02=3

∵逆旋角到，∴（xcos-ysin，xsin+ycos）=（x0，y0），

∴x0=，y0=，

∵x02-y02=3，∴可得y=-，即f（x）=-

函数F （x）=λ f （x）-|x-1|+2有三个不同的零点，等价于=x|x-1|-2x（x≠0）有三个不同实数解．

设g（x）=x|x-1|-2x=，图象如图

∵=x|x-1|-2x（x≠0）有三个不同实数解

∴，且≠0

∴，且λ≠0．

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题型：简答题

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简答题

已知矩阵A=，向量=，求矩阵A的逆矩阵，及使得A=成立的向量．

正确答案

解：矩阵的行列式为=-2，

∴矩阵A的逆矩阵A-1=，

∴=A-1=．

解析

解：矩阵的行列式为=-2，

∴矩阵A的逆矩阵A-1=，

∴=A-1=．

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题型：简答题

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简答题

已知矩阵A=，B=，求矩阵A-1B．

正确答案

解：设矩阵A的逆矩阵为，

则=，即=，

故a=-1，b=0，c=0，d=，

从而A-1=，

∴A-1B==．

解析

解：设矩阵A的逆矩阵为，

则=，即=，

故a=-1，b=0，c=0，d=，

从而A-1=，

∴A-1B==．

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，把矩阵B=确定的压缩变换σ与矩阵A=确定的旋转变换R90°进行复合，得到复合变换R90°．σ．

（I）求复合变换R90°．σ的坐标变换公式；

（Ⅱ）求圆C：x2+y2=1在复合变换R90°．σ的作用下所得曲线C′的方程．

正确答案

解：（I）∵A=，B=

∴AB==，

∴复合变换R90°．σ的坐标变换公式为；

（Ⅱ）设圆C：x2+y2=1上任意一点P（x，y），在复合变换R90°．σ的作用下得到P′（x′，y′），

则，即

代入圆C：x2+y2=1可得：（2y′）2+（-x）2=1，

∴曲线C′的方程为x2+4y2=1．

解析

解：（I）∵A=，B=

∴AB==，

∴复合变换R90°．σ的坐标变换公式为；

（Ⅱ）设圆C：x2+y2=1上任意一点P（x，y），在复合变换R90°．σ的作用下得到P′（x′，y′），

则，即

代入圆C：x2+y2=1可得：（2y′）2+（-x）2=1，

∴曲线C′的方程为x2+4y2=1．

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题型：简答题

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简答题

求曲线C：xy=1在矩阵对应的变换作用下得到的曲线C1的方程．

正确答案

解：设P（x，y）是曲线C1上的任意一点，在曲线C：xy=1上与之对应的是点Q（x0，y0）．

∵•=，

∴，

∵点Q（x0，y0）在曲线C：xy=1上，

∴x0y0=1，

∴，

∴x2-y2=4．

∴曲线C1的方程为：x2-y2=4．

解析

解：设P（x，y）是曲线C1上的任意一点，在曲线C：xy=1上与之对应的是点Q（x0，y0）．

∵•=，

∴，

∵点Q（x0，y0）在曲线C：xy=1上，

∴x0y0=1，

∴，

∴x2-y2=4．

∴曲线C1的方程为：x2-y2=4．

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题型：简答题

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简答题

二阶矩阵A，B对应的变换对圆的区域作用结果如图所示．

（Ⅰ）请写出一个满足条件的矩阵A，B；

（Ⅱ）利用（Ⅰ）的结果，计算C=BA，并求出曲线x-y-1=0在矩阵C对应的变换作用下的曲线方程．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意，二阶矩阵A对应的变换是横坐标不变，纵坐标变为原来一半的变换，故A=

二阶矩阵B对应的变换是逆时针旋转90°的旋转变换，故B= …（4分）

（Ⅱ）C=BA==

设曲线x-y-1=0上任一点为（m，n），变换后的点的坐标为（x，y）

∵=

∴m=y，n=-2x

∵m-n-1=0

∴2x+y-1=0

故所求曲线方程为：2x+y-1=0． …（7分）

解析

解：（Ⅰ）由题意，二阶矩阵A对应的变换是横坐标不变，纵坐标变为原来一半的变换，故A=

二阶矩阵B对应的变换是逆时针旋转90°的旋转变换，故B= …（4分）

（Ⅱ）C=BA==

设曲线x-y-1=0上任一点为（m，n），变换后的点的坐标为（x，y）

∵=

∴m=y，n=-2x

∵m-n-1=0

∴2x+y-1=0

故所求曲线方程为：2x+y-1=0． …（7分）

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正确答案

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