平面与圆锥面的截线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知直线l：ax-y=0在矩阵A=对应的变换作用下得到直线l′，若直线l′过点（1，1），求实数a=______．

正确答案

-1

解析

解：设直线l上的点（x，y），（x′，y′）是所得的直线上一点，则=

∴，

令x′=1，y′=1，则x=-1，y=1，

代入ax-y=0，可得a=-1．

故答案为：-1．

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题型：简答题

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简答题

已知矩阵M=，记绕原点逆时针旋转的变换所对应的矩阵为N．

（Ⅰ）求矩阵N；

（Ⅱ）若曲线C：xy=1在矩阵MN对应变换作用下得到曲线C′，求曲线C′的方程．

正确答案

解：（Ⅰ）由已知得，矩阵N=．…（3分）

（Ⅱ）矩阵MN=，它所对应的变换为解得

把它代人方程xy=1整理，得（y′）2-（x′）2=4，

即经过矩阵MN变换后的曲线C′方程为y2-x2=4…（7分）

解析

解：（Ⅰ）由已知得，矩阵N=．…（3分）

（Ⅱ）矩阵MN=，它所对应的变换为解得

把它代人方程xy=1整理，得（y′）2-（x′）2=4，

即经过矩阵MN变换后的曲线C′方程为y2-x2=4…（7分）

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题型：填空题

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填空题

曲线y2-x-2y=0在二阶矩阵的作用下变换为曲线y2=x；

（Ⅰ）求实数a，b的值；

（Ⅱ）求M的逆矩阵M-1．

正确答案

解析

解：（Ⅰ），可得

代入新曲线y2=x，得（bx+ay）2=x+ay，即y2+2bxy+b2x2-x-ay=0

解得a2=2，b=0 …（4分）

（2）由|M|=1及逆矩阵公式得M-1= …（7分）

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题型：简答题

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简答题

已知点P（a，b），先对它作矩阵M=对应的变换，再作N=对应的变换，得到的点的坐标为（8，4），求实数a，b的值．

正确答案

解：依题意，NM==，…（4分）

由逆矩阵公式得，（NM）-1=，…（8分）

所以=，即有a=5，b=-． …（10分）

解析

解：依题意，NM==，…（4分）

由逆矩阵公式得，（NM）-1=，…（8分）

所以=，即有a=5，b=-． …（10分）

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题型：简答题

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简答题

（选修4-2：矩阵与变换）

设T是矩阵所对应的变换，已知A（1，0）且T（A）=P

（1）设b＞0，当△POA的面积为，，求a，b的值；

（2）对于（1）中的a，b值，再设T把直线4x+y=0变换成，求c的值．

正确答案

解：（1）∵，

∴P（a，b）． …（5分）

∵b＞0，，，

P（a，b），A（1，0），

∴a=2，．…（10分）

（II）由（I）得，矩阵=．设矩阵将点（x，y）变换成点（m，n），

则有，又，

解得c=0．

解析

解：（1）∵，

∴P（a，b）． …（5分）

∵b＞0，，，

P（a，b），A（1，0），

∴a=2，．…（10分）

（II）由（I）得，矩阵=．设矩阵将点（x，y）变换成点（m，n），

则有，又，

解得c=0．

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题型：简答题

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简答题

已知矩阵M=．

（Ⅰ）请写出矩阵M对应的变换f的变换公式；

（Ⅱ）从变换的角度说明矩阵M可逆吗？如果可逆，请用求逆变换的方式求出对应的逆矩阵M-1．

正确答案

解：（Ⅰ）假设把任一点（x，y）变成（x‘，y'），

则∴．

（Ⅱ）从变换的角度看，变换f是可逆的．由（Ⅰ）得矩阵M对应的变换f是y轴方向上的切变变换．因为变换f把每个点在横坐标不变的情况下，纵坐标变为原来纵坐标加上横坐标的2倍，所以它的逆变换f-1应该是把每个点在横坐标不变的情况下，纵坐标变为原来纵坐标减去横坐标的2倍．

∴，

∴．

解析

解：（Ⅰ）假设把任一点（x，y）变成（x‘，y'），

则∴．

（Ⅱ）从变换的角度看，变换f是可逆的．由（Ⅰ）得矩阵M对应的变换f是y轴方向上的切变变换．因为变换f把每个点在横坐标不变的情况下，纵坐标变为原来纵坐标加上横坐标的2倍，所以它的逆变换f-1应该是把每个点在横坐标不变的情况下，纵坐标变为原来纵坐标减去横坐标的2倍．

∴，

∴．

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题型：简答题

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简答题

已知a，b∈R，若矩阵M=（）所对应的变换把直线l：x+y=1变换为自身．

（Ⅰ）求实数a，b

（Ⅱ）若向量e1=（），e2=（），试判断e1和e2是否为M的特征向量，并证明之．

正确答案

解：（Ⅰ）在直线l：x+y=1上任取两点（1，0）和（0，1），

由（）=和=（）=，…．（2分）

知点（-1，b）和点（a，3）均在直线l：x+y=1上，

所以，解得，

所以矩阵M=．

经检验，所求矩阵M符合要求．…．（4分）

（Ⅱ）因=≠λ，==，

所以不是M的特征向量，是M的特征向量．　　　…．（7分）

解析

解：（Ⅰ）在直线l：x+y=1上任取两点（1，0）和（0，1），

由（）=和=（）=，…．（2分）

知点（-1，b）和点（a，3）均在直线l：x+y=1上，

所以，解得，

所以矩阵M=．

经检验，所求矩阵M符合要求．…．（4分）

（Ⅱ）因=≠λ，==，

所以不是M的特征向量，是M的特征向量．　　　…．（7分）

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，线性变换σ将点（1，0）变换为（1，0），将点（0，1）变换为（1，2）．

（Ⅰ）试写出线性变换σ对应的二阶矩阵A；

（Ⅱ）求矩阵A的特征值及属于相应特征值的一个特征向量．

正确答案

解：（Ⅰ）设A=，则==，==，

∴a=b=1，c=0，d=2，

∴A=；

（Ⅱ）矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2），

令f（λ）=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=2，

设λ1=1对应的一个特征向量为α=，

则由λ1α=Mα，得0•x-y=0，可令x=1，则y=0，

∴矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为，

同理可得矩阵M的一个特征值λ2=2对应的一个特征向量为．

解析

解：（Ⅰ）设A=，则==，==，

∴a=b=1，c=0，d=2，

∴A=；

（Ⅱ）矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-1）（λ-2），

令f（λ）=0，可求得特征值为λ1=1，λ2=2，

设λ1=1对应的一个特征向量为α=，

则由λ1α=Mα，得0•x-y=0，可令x=1，则y=0，

∴矩阵M的一个特征值λ1=1对应的一个特征向量为，

同理可得矩阵M的一个特征值λ2=2对应的一个特征向量为．

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题型：简答题

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简答题

已知a，b∈R，矩阵所对应的变换将直线x+y-1=0变换为自身．

①求a，b的值；

②求矩阵A的逆矩阵A-1．

正确答案

解：①取直线x+y-1=0上两点（0，1），（1，0），

由

在矩阵A所对应的线性变换作用下的象是（1，b），（-a，2）仍在直线x+y-1=0上，

代入直线方程，得a=1，b=0…（4分）

②设，由，得

∴，解得：，即…（7分）

另解：∵，由公式，得∴…（7分）

解析

解：①取直线x+y-1=0上两点（0，1），（1，0），

由

在矩阵A所对应的线性变换作用下的象是（1，b），（-a，2）仍在直线x+y-1=0上，

代入直线方程，得a=1，b=0…（4分）

②设，由，得

∴，解得：，即…（7分）

另解：∵，由公式，得∴…（7分）

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题型：简答题

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简答题

已知矩阵M=，N=，且MN=．

（Ⅰ）求实数a、b、c、d的值；

（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换作用下的像的方程．

正确答案

解：（Ⅰ）由题设得，解得；

（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），

所以可取直线y=3x上的两（0，0），（1，3），计算题

由=，=

得：点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），

从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=-x．

解析

解：（Ⅰ）由题设得，解得；

（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），

所以可取直线y=3x上的两（0，0），（1，3），计算题

由=，=

得：点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的线性变换下的像是（0，0），（-2，2），

从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=-x．

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