平面与圆锥面的截线_章节学习

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题型：填空题

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填空题

已知矩阵，，则A×B=______．

正确答案

解析

解：根据矩阵乘法法则有：

A×B===．

故答案为：．

1

题型：填空题

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填空题

求圆C：x2+y2=1在矩阵对应变换作用下的曲线方程，并判断曲线的类型．

正确答案

解析

解：设P（x，y）是圆C：x2+y2=1上的任一点，

P1（x′，y′）是P（x，y）在矩阵对应变换作用下新曲线上的对应点，

则（3分）

即，所以，（6分）

将代入x2+y2=1，得，（8分）

∴此方程表示的曲线是焦点为（±，0）长轴为4的椭圆．（10分）

1

题型：简答题

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简答题

已知矩阵，向量=．

（1）求矩阵M的特征向量；

（2）计算M50．

正确答案

解：（1）矩阵M的特征多项式为，…（3分）

所以λ1=0，λ2=4，设对应的特征向量为α1=，α2=．

由Mα1=λ1α1，Mα2=λ2α2，可得2x1+y1=0，2x2-y2=0，

所以矩阵M的一个特征向量为α1=，α2=．…（7分）

（2）令β=mα1+nα2，则，解得，，…（9分）

所以M50β=M50

=

=． …（14分）

解析

解：（1）矩阵M的特征多项式为，…（3分）

所以λ1=0，λ2=4，设对应的特征向量为α1=，α2=．

由Mα1=λ1α1，Mα2=λ2α2，可得2x1+y1=0，2x2-y2=0，

所以矩阵M的一个特征向量为α1=，α2=．…（7分）

（2）令β=mα1+nα2，则，解得，，…（9分）

所以M50β=M50

=

=． …（14分）

1

题型：填空题

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填空题

把实数a，b，c，d排成形如的形式，称之为二行二列矩阵，定义矩阵的一种运算•=，该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵的作用下变换成点（ax+by，cx+dy），则若曲线x+y=1在矩阵的作用下变换成曲线2x-y=1，则a+b的值为______．

正确答案

2

解析

解：设（x，y）是曲线x2+4xy+2y2=1的点，在矩阵的作用下的点为（x′，y′），

即又x′2-2y′2=1，∴2（x+ay）-（bx+y）=1，（2-b）x+（2a-1）y=1．

故 ∴a+b=2．

故答案为：2．

1

题型：简答题

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简答题

已知集合A={x|z=（x+2）+4i，x∈R，i是虚数单位，|z|≤5}，集合B={x|≤3，x∈R}，a∉A∩B，

求实数a的取值范围．

正确答案

由集合A中的关系式得：（x+2）2+42≤25，即（x+2）2≤9，

解得：-3≤x+2≤3，即-5≤x≤1，

∴A=[-5，1]；

由集合B中的不等式=x2-2x≤3，即（x-3）（x+1）≤0，

解得：-1≤x≤3，

∴B=[-1，3]，

∴A∩B=[-1，1]，

∵a∉A∩B，

∴实数a的范围为a＞1或a＜-1．

1

题型：简答题

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简答题

将所有平面向量组成的集合记作R2，f是从R2到R2的映射，记作=f()或（y1，y2）=f（x1，x2），其中x1，x2，y1，y2都是实数．定义映射f的模为：在||=1的条件下||的最大值，记做||f||．若存在非零向量∈R2，及实数λ使得f（）=λ，则称λ为f的一个特征值．

（1）若f（x1，x2）=（x1，x2），求||f||；

（2）如果f（x1，x2）=（x1+x2，x1-x2），计算f的特征值，并求相应的；

（3）若f（x1，x2）=（a1x1+a2x2，b1x1+b2x2），要使f有唯一的特征值，实数a1，a2，b1，b2应满足什么条件？试找出一个映射f，满足以下两个条件：①有唯一的特征值λ，②||f||=|λ|，并验证f满足这两个条件．

正确答案

（1）由于此时y12+y22=x12+x22，

又因为是在x12+x22=1的条件下，有y12+y22=x12+x22=+x22≤1（x2=±1时取最大值），

所以此时有||f||=1；…（4分）

（2）由f（x1，x2）=（x1+x2，x1-x2）=λ（x1，x2），可得：，

解此方程组可得：（λ-1）（λ+1）=1，从而λ=±．

当λ=时，解方程组，此时这两个方程是同一个方程，

所以此时方程有无穷多个解，为=m(+1，1)（写出一个即可），其中m∈R且m≠0．

当λ=-时，同理可得，相应的=m(1-，1)（写出一个即可），其中m∈R且m≠0．…（9分）

（3）解方程组，可得x1（a1-λ，b1）+x2（a2，-b1-λ）=0

从而向量（a1-λ，b1）与（a2，-b1-λ）平行，

从而有a1，a2，b1，b2应满足：(a1-b2)2+4a2b1=0．

当f（）=λ时，f有唯一的特征值，且||f||=|λ|．具体证明为：

由f的定义可知：f（x1，x2）=λ（x1，x2），所以λ为特征值．

此时a1=λ，a2=0，b1=0，b2=λ满足：(a1-b2)2+4a2b1=0，所以有唯一的特征值．

在x12+x22=1的条件下(λx1)2+(λx2)2=λ2，从而有||f||=|λ|．…（14分）

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题型：简答题

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简答题

本题共有（1）、（2）、（3）三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则以所做的前2题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（1）选修4-2：矩阵与变换

变换T1是逆时针旋转90°的旋转变换，对应的变换矩阵为M1，变换T2对应的变换矩阵是M2=；

（I）求点P（2，1）在T1作用下的点Q的坐标；

（II）求函数y=x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得的曲线方程．

（2）选修4-4：极坐标系与参数方程

从极点O作一直线与直线l：ρcosθ=4相交于M，在OM上取一点P，使得OM•OP=12．

（Ⅰ）求动点P的极坐标方程；

（Ⅱ）设R为l上的任意一点，试求RP的最小值．

（3）选修4-5：不等式选讲

已知f（x）=|6x+a|．

（Ⅰ）若不等式f（x）≥4的解集为{x|x≥或x≤-}，求实数a的值；

（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x-1）＞b对一切实数x恒成立，求实数b的取值范围．

正确答案

（1）（Ⅰ）M1= ，M1 =，点P（2，1）在T1作用下的点Q的坐标为（-1，2）．…4分

（II）设变换为M，则M=M2M1=，设（x，y）是变换后曲线上的任意一点，与之对应的变换前的点是（x0，y0），

则有 =，∴x=x0-y0，x0=y．

又y0=x02，∴y-x=y2．

（2）（Ⅰ）设动点P的极坐标（ρ，θ），点M的极坐标为（ρ0，θ0），则ρρ0=12．

又ρ0cosθ=4，∴ρ=3cosθ （扣除极点）．

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，动点P的轨迹是以（1.5，0）为圆心，以1.5为半径的圆，故RP的最小值为1．

（3）由|6x+a|≥4 解得x≥，或 x≤，∴=，=-，

解得 a=1．此时，f（x）=|6x+1|，f（x+1）=|6x+7|，f（x-1）=|6x-5|．

f（x）+f（x-1）=|6x+7|+|6x-5|≥|（6x+7）-（6x-5）|=12，故b＜12．

1

题型：简答题

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简答题

三阶行列式D=，元素b（b∈R）的代数余子式为H（x），P={x|H（x）≤0}，

（1）求集合P；

（2）函数f(x)=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q，若P⊆Q，求实数a的取值范围．

正确答案

（1）根据三阶矩阵代数余子式的定义，得

H(x)==2x2-5x+2（3分）

解不等式2x2-5x+2≤0，得≤x≤2，

∴P={x|≤x≤2}（7分）

（2）若P⊆Q，则说明不等式ax2-2x+2＞0在x∈[，2]上恒成立，（8分）

即不等式a＞-在x∈[，2]上恒成立，（9分）

令u=-，则只需a＞umax即可．（11分）

又u=-=-2(-)2+．

当x∈[，2]时，∈[，2]，从而u∈[-4，]，umax=，（13分）

∴a＞．（14分）

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题型：简答题

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简答题

本题有（Ⅰ）、（Ⅱ）、（Ⅲ）三个选答题，每题7分，请考生任选两题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题记分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．

（Ⅰ）直线l1：x=-4先经过矩阵A=作用，再经过矩阵B=作用，变为直线l2：2x-y=4，求矩阵A．

（Ⅱ）已知直线l的参数方程：（t为参数）和圆C的极坐标方程：p=2sin（θ+）．判断直线l和圆C的位置关系．

（Ⅲ）解不等式：|x|+2|x-1|≤4．

正确答案

（Ⅰ）根据题意可得：直线l1经矩阵BA所对应的变换可直接得到直线l2

BA=• =，得l1变换到l2的变换公式，

则由l2：2x-y=4得到直线2[（4+n）x+（m-4）y]-[-nx+4y]-4=0，即（3n+8）x-（2m-12）y-4=0

即直线l1：x=-4，比较系数得m=6，n=-3，

此时矩阵A=

（II）消去参数t，得直线l的普通方程为y=2x+1，

ρ=2 sin（θ+），即ρ=2（sinθ+cosθ），

两边同乘以ρ得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ），

得⊙C的直角坐标方程为（x-1）2+（x-1）2=2；

圆心C到直线l的距离d==＜，

所以直线l和⊙C相交．

（III）根据题意，对x分3种情况讨论：

①当x＜0时，原不等式可化为-3x+2≤4，

解得-≤x＜0，

②当0≤x≤1时，原不等式可化为2-x≤4，即x≥-2

解得0≤x≤1，

③当x≥1时，原不等式可化为3x-2≤4，

解得 1＜x≤2．

综上，原不等式的解集为{x|-≤x≤2}．

1

题型：简答题

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简答题

（1）选修4-2：矩阵与变换

若矩阵A有特征值λ1=2，λ2=-1，它们所对应的特征向量分别为e1=和e2=．

（I）求矩阵A；

（II）求曲线x2+y2=1在矩阵A的变换下得到的新曲线方程．

（2）选修4-4：坐标系与参数方程

已知曲线C1的参数方程为(θ为参数），C2的参数方程为(t为参数）

（I）若将曲线C1与C2上所有点的横坐标都缩短为原来的一半（纵坐标不变），分别得到曲线C′1和C′2，求出曲线C′1和C′2的普通方程；

（II）以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求过极点且与C′2垂直的直线的极坐标方程．

（3）选修4-5：不等式选讲

设函数f（x）=|2x-1|+|2x-3|，x∈R，

（I）求关于x的不等式f（x）≤5的解集；

（II）若g(x)=的定义域为R，求实数m的取值范围．

正确答案

（1）（本小题满分7分）选修4-2：矩阵与变换

（I）设A=（），由A=λ1，A=λ2得：

=2=，=-1×=，

∴，故A=…4分

（II）设曲线x2+y2=1上任意一点（x，y）在矩阵A对应的变换下得到的点为（x′，y′），则=，即，

∴，从而(

1

2

x′)2+（-y′）2=1，即+y′2=1，

∴新曲线方程为+y2=1…7分

（2）（本小题满分7分）选修4-4：坐标系与参数方程

∵（Ⅰ）C1：(θ为参数），C2：(t为参数，

∴C1的普通方程为x2+y2=1，C2的普通方程为y=x-1…4分

（Ⅱ）在直角坐标系中过极点即为过原点与曲线C2垂直的直线方程为y=-x，

在极坐标系中，直线化为tanθ=1，方程为θ=或θ=…7分

（3）（本小题满分7分）选修4-5：不等式选讲

（Ⅰ）或或，

∴不等式的解集为x∈[-，]…4分

（Ⅱ）若g（x）=的定义域为R，则f（x）+m≠0恒成立，即f（x）+m=0在R上无解，

又f（x）=|2x-1|+|2x-3|≥|2x-1-2x+3|=2，

∴f（x）的最小值为2，

∴m＜-2…7分．

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