热门试卷

（B）设M=，则由 =，得，

即a+b=8，c+d=8．

由=，得=，

从而-a+2b=-2，-c+2d=4．

由a+b=8，-a+2b=-2，c+d=8，-c+2d=4解得a=6，b=2，c=4，d=4

∴M=，M2==．

（C）由曲线C的极坐标方程为ρ2cos2θ+3ρ2sin2θ=3，

可得C的普通方程是x2+3y2=3，

即+y2=1．

由直线l的参数方程为（t为参数，t∈R）消去参数td得

直线l的普通方程是x+y-=0．

设点M的坐标是(cosθ，sinθ)，则点M到直线l的距离是

d==．

当sin(θ+)=-1时，

即θ+=2kπ+，k∈Z，解得θ=2kπ+，k∈Zd取得最大值，

此时cosθ=-，sinθ=-，

综上，点M的坐标是(-，-)时，M到直线l的距离最大．

（1）①∵点P（1，-2）在矩阵M的变换下得到点P′（-4，0）．

∴=，∴2-2a=-4，∴a=3．（3分）

②由①知M=，则矩阵M的特征多项式为f（λ）=||=λ2-3λ-4（5分）

令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为-1与4．（6分）

当λ=-1时，∵，∴x+y=0

∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为；  （8分）

当λ=4时，∵，∴2x-3y=0

∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为． （10分）

（2）①曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程为x2+y2-4x=0，圆心坐标为（2，0），半径R=2．

②直线l的普通方程为y=x-m，则圆心到直线l的距离d==

所以=，可得|m-2|=1，解得m=1或m=3．

（1）依题意得，即

所以解得∴A=

（2）由ρsin（θ-）=ρ（sinθ-cosθ）=6，∴y-x=12

将圆的参数方程化为普通方程为x2+y2=10圆心为C（0，0），半径为10．

∴点C到直线的距离为d==6，

直线l被圆截得的弦长为2=16

（3）由柯西不等式得，有(2b2+3c2+6d2)(++)≥(b+c+d)2

即2b2+3c2+6d2≥（b+c+d）2，由条件可得，5-a2≥（3-a）2

解得，1≤a≤2，代入b=1，c=，d=时，amax=2；b=1，c=，d=时，amin=1

（A）（1）∵矩阵A=，A的一个特征值λ=2，其对应的特征向量是α1=．

∴（2E-A）α1=，即 =，∴，解得，

∴矩阵A=．

（2）∵A2= =，

A2β= =．

（2）由直线l的参数方程为（t为参数，t∈R），消去参数t得直线l普通方程为y=x-2；

由椭圆C的极坐标方程为ρ2=，化为3ρ2cos2θ+4ρ2sin2θ=12，

∴3x2+4y2=12，化为普通方程+=1．

∴c2=4-3=1，∴c=1．

∴焦点F1（-1，0），F2（1，0），∴点F1到直线l的距离d1==；

F2到直线l的距离d2==．

∴d1+d2=2．

（C）证明：∵x，y，z都是为正数，

∴xyz(++)=x2+y2+z2≥2（xy+xz+xy）≥xy+xz+yz，当且仅当x=y=z＞0时取等号；

∴++≥++．

（1）由已知得M=，即=，∴

∴．

（2）设点P（x'，y'）是曲线C：xy=1上的任意一点，变换后的点为P'（x，y）

则=，即，解得，

因为x′y′=1，所以×=1，即-=1．即曲线C′的方程为-=1．

（A）4-2矩阵与变换

（Ⅰ）由a=me1+ne2得：=m+n，即⇒．

（Ⅱ）二阶矩阵M对应的变换是线性变换

所以M5a=M5（2e1+e2）=2M5e1+M5e2=2λ15e1+λ25e2=2e1+25e2

=2+25==

所以点A在M5作用下的点的坐标（-30，66）．

（B）4-2极坐标与参数方程

由ρsin(θ-)=3，得：ρ(sinθ-cosθ)=3，∴y-x=6，即：x-y+6=0

又曲线C的参数方程是，设点P坐标为（cosθ，3sinθ），

则点P到直线l的距离是d===≤=+3

所以，P到直线l的距离的最大值为+3．

（1）证明：∵AM切圆于点A，∴AM2=MB•MC

又∵M为PA中点，AM=MP，∴MP2=MB•MC，∴=

∵∠BMP=∠PMC，∴△BMP∽△PMC，∴∠MCP=∠MPB．

（2）四个顶点A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），经矩阵M=表示的变换作用后，四边形ABCD变为四边形A1B1C1D1顶点坐标为A1（0，1），B1（2，2k+1），C1（2，2k+3），D1（0，2），四边形A1B1C1D1仍为梯形，且上、下底及高都不变，故面积相等；

（3）曲线ρ=12sinθ化为直角坐标方程为 x2+（y-6）2=36，表示以（0，6）为圆心，以6为半径的圆．

曲线ρ=12cos(θ-)化为直角坐标方程为 x2+y2=6x+6y，即 （x-3）2+（y-3）2=36，

表示以（3，3 ）为圆心，以6为半径的圆．

两圆的圆心距的平方为 （0-3 ）2+（6-3）2 =36，故两圆相交，线段AB长的最大值为6+r+r′=18．

（4）连接P与三角形的三个顶点，分成的三个小三角形面积的和等于大三角形，即（ax+by+cz）=S，∴ax+by+cz=2S=

∴++=×+×+×

≤×[(

1

a

)2+(

1

b

)2+(

1

c

)2]

=×（++）=×=≤

即++≤

（1）矩阵M的特征多项式为：f（λ）=λ2-λ-2=0，λ1=-1，λ2=2．

λ1=-1对应的一个特征向量为：=，λ2=2对应的一个特征向量为：=．（4分）

设a=m +n，即 =m +n ，∴解得．（5分）

M10α=3(λ1)10+(-2)(λ2)10=3(-1)10+（-2）10 =或 ．

（2）直线的参数方程为 （s 为参数），曲线 可以化为 x2-y2=4．

将直线的参数方程代入上式，得 s2-6+ 10 = 0．

设A、B对应的参数分别为 s1，s2，∴s1+  s2= 6 ，s1•s2=10．

∴AB=|s1-s2|==2 ．