平面与圆锥面的截线
共736题

平面与圆锥面的截线
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题型：简答题

简答题

已知△AOB的三顶点O（0，0），A（0，-4），B（2，2），设△AOB在矩阵所对应的变换作用下得到△A′OB′，求∠OA′B′和△A′OB′的面积．

正确答案

解：根据题意，可得

∵和所对应的变换分别是位似变换和旋转变换

∴△A′OB′∽△AOB，且OA′=5OA

∵O（0，0），A（0，-4），B（2，2）

∴∠OA′B′=∠OAB=30°，S△A′OB′=25S△AOB=100．

解析

解：根据题意，可得

∵和所对应的变换分别是位似变换和旋转变换

∴△A′OB′∽△AOB，且OA′=5OA

∵O（0，0），A（0，-4），B（2，2）

∴∠OA′B′=∠OAB=30°，S△A′OB′=25S△AOB=100．

题型：简答题

简答题

已知矩阵P所对应的线性变换把点A（x，y）变成点Q（0，-2），试求P的逆矩阵及点A的坐标．

正确答案

解：由题意可知（x，y）=（0，-2），即，

解得x=4，y=-6，所以A（4，-6）；

矩阵的行列式为=1，

所以矩阵P的逆矩阵为．

解析

解：由题意可知（x，y）=（0，-2），即，

解得x=4，y=-6，所以A（4，-6）；

矩阵的行列式为=1，

所以矩阵P的逆矩阵为．

题型：简答题

简答题

已知二阶矩阵M有特征值λ=3及对应的一个特征向量，并且矩阵M对应的变换将点（-1，2）变换成（3，0），求矩阵M．

正确答案

解：设矩阵M=，这里a，b，c，d∈R，

则 =3 =，故 ①

=，故 ②

由①②联立解得，∴．

解析

解：设矩阵M=，这里a，b，c，d∈R，

则 =3 =，故 ①

=，故 ②

由①②联立解得，∴．

题型：单选题

单选题

在同一平面直角坐标系中，经过坐标伸缩变换后，曲线C变为曲线2x′2+8y′2=1，则曲线C的方程为（　　）

A50x2+72y2=1

B9x2+100y2=1

C25x2+36y2=1

正确答案

解析

解：把代入曲线2x′2+8y′2=1，可得2（5x）2+8（3y）2=1，化为50x2+72y2=1，即为曲线C的方程．

故选A．

题型：填空题

填空题

已知M=，N=，求二阶矩阵X，使得MX=N，则二阶矩阵X=______．

正确答案

解析

解：设X=，

按题意有=，

根据矩阵乘法法则有

解之得a=4.5，b=-1，c=5，d=-1，

∴X=．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

点A（2，3）在矩阵M=对应变换作用下得到点的坐标为______．

正确答案

（，）

解析

解：设点A（2，3）在矩阵M=对应变换作用下得到点的坐标为M（x，y）

则 =

所以

则

故答案为：．

题型：填空题

填空题

如图是一个2013×2013阶矩阵，依照该矩阵中元素的规律，则元素100在此矩阵中总共出现了______ 次．

正确答案

解析

解：根据题意，该矩阵的第一行和第一列的数字均为1，

从第二行起，有如下规律：

第k（k≥2）行的数构成以1为首项、公差dk=k-1的等差数列．

∴该矩阵的第k（k≥2）行、第m个数为akm=1+（m-1）（k-1）=mk-（m+k）+2．

令mk-（m+k）+2=100，可得mk-（m+k）=98，得m==1+，

∵m、k是正整数，且k≥2、m≥2，

∴k-1为99的正约数，可得k-1=1，3，9，11，33，99，共6种情况．

当k=2时，m=100；当k=4时，m=34；当k=10时，m=12；k=12时，m=10；k=34时，m=4；k=100时，m=2．

由此可得：共有6组m、n值满足上述等式成立．

因此，元素100在此矩阵中总共出现了6次．

故选：6

题型：简答题

简答题

已知曲线C：xy=1

（1）将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，求得到的曲线C′的方程；

（2）求曲线C的焦点坐标和渐近线方程．

正确答案

解（1）由题设条件，M==，

TM：→==，即有，

解得，代入曲线C的方程为y′2-x′2=2．

所以将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，得到的曲线是y2-x2=2．…（5分）

（2）由（1）知，只须把曲线y2-x2=2的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转45°后，即可得到曲线C的焦点坐标和渐近线方程．

曲线y2-x2=2的焦点坐标是（0，-2），（0，2），渐近线方程x±y=0，

变换矩阵N==，

=，=，

即曲线C的焦点坐标是（-，-），（，）．而把直线x±y=0要原点顺时针旋转45°恰为y轴与x轴，因此曲线C的渐近线方程为x=0和y=0．…（10分）

解析

解（1）由题设条件，M==，

TM：→==，即有，

解得，代入曲线C的方程为y′2-x′2=2．

所以将曲线C绕坐标原点逆时针旋转45°后，得到的曲线是y2-x2=2．…（5分）

（2）由（1）知，只须把曲线y2-x2=2的焦点、渐近线绕坐标原点顺时针旋转45°后，即可得到曲线C的焦点坐标和渐近线方程．

曲线y2-x2=2的焦点坐标是（0，-2），（0，2），渐近线方程x±y=0，

变换矩阵N==，

=，=，

即曲线C的焦点坐标是（-，-），（，）．而把直线x±y=0要原点顺时针旋转45°恰为y轴与x轴，因此曲线C的渐近线方程为x=0和y=0．…（10分）

题型：单选题

单选题

在同一平面直角坐标系中，将曲线y=cos2x按伸缩变换变换为（　　）

Ay′=cosx′

By′=3cos′

Cy′=2cosx′

Dy′=cos3x′

正确答案

解析

解：∵伸缩变换，

∴x=x′，y=y′，

代入y=cos2x，可得y′=cosx′，即y′=cosx′．

故选：A．

题型：单选题

单选题

在同一坐标系中，将圆x2+y2=4在伸缩变换下的方程是（　　）

C4X2+9Y2=1

D2X2+3Y2=1

正确答案

解析

解：由伸缩变换得，

将此式代入曲线x2+y2=4，

得（）2+（）2=4，即．

故选A．

继续学习棒棒哒，已是最后一个知识点

已完结

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