平面与圆锥面的截线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

在平面直角坐标系xOy中，直线l：x＋y＋2＝0在矩阵M＝对应的变换作用下得到直线m：x－y－4＝0，求实数a、b的值．

正确答案

a＝2，b＝3.

(解法1)在直线l：x＋y＋2＝0上取两点A(－2，0)，B(0，－2)，A、B在矩阵M对应的变换作用下分别对应于点A′、B′，因为

＝，所以A′的坐标为(－2，－2b)；

＝，所以B′的坐标为(－2a，－8)．由题意A′、B′在直线m：x－y－4＝0上，所以解得a＝2，b＝3.

(解法2)设直线l：x＋y＋2＝0上任意一点(x，y)在矩阵M对应的变换作用下对应于点(x′，y′)．因为＝，所以x′＝x＋ay，y′＝bx＋4y.因为(x′，y′)在直线m上，所以(x＋ay)－(bx＋4y)－4＝0，即(1－b)x＋(a－4)y－4＝0.

又点(x，y)在直线x＋y＋2＝0上，所以，解得a＝2，b＝3

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题型：简答题

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简答题

本题有(1)、(2)、(3)三个选答题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分.如果多作，则按所做的前两题计分。作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将选题号填入括号中

（1）（本题满分7分）选修4一2：矩阵与变换

求矩阵的特征值及对应的特征向量。

（2）（本题满分7分）选修4一4：坐标系与参数方程

已知直线的参数方程：（为参数）和圆的极坐标方程：。

（I）将直线的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程；

（II）判断直线和圆的位置关系

（3）（本题满分7分）选修4一5：不等式选讲

已知函数. 若不等式恒成立，求实数的范围。

正确答案

（1）

（2）直线和⊙相交

（3）

（1）解：设A的一个特征值为，由题意知：

………………3分

……5分

……7分

（2）解：（Ⅰ）消去参数，得直线的普通方程为………………3分

，即，两边同乘以得，

得⊙的直角坐标方程为 ………………………5分

（Ⅱ）圆心到直线的距离，

所以直线和⊙相交 ……………………7分

（3）．解：由，且，得 ……3分

又因为，则有2………………5分

解不等式，得…………………… 7分

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题型：填空题

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填空题

对于元素为整数的有限集合A={z1，z2，z3，…，zn}，规定MA=(-1)z1×z1+(-1)z2 ×z2+(-1)z3×z3+…+(-1)zn×zn为集合A的特征值．例如：B={-1，2，3}，则集合B的特征值MB=（-1）-1×（-1）+（-1）2×2+（-1）3×3=0．如果集合A={-1，0，1，2，3，4}，那么集合A所有非空子集的特征值的和等于______．

正确答案

集合A非空子集有63个，分别为：A1={-1}，A2={0}，A3={1}，A4={2}，A5={3}，A6={4}，

A7={-1，0}，A8={-1，1}，A9={-1，2}，A10={-1，3}，A11={-1，4}，A12={0，1}，A13={0，2}，

A14={0，3}，A15={0，4}，A16={1，2}，A17={1，3}，A18={1，4}，A19={2，3}，A20={2，4}，

A21={3，4}，A22={-1，0，1}，A23={-1，0，2}，A24={-1，0，3}，A25={-1，0，4}，A26={0，1，2}，

A27={0，1，3}，A28={0，1，4}，A29={1，2，3}，A30={1，2，4}，A31={2，3，4}，A32={-1，1，2}，

A33={-1，1，3}，A34={-1，1，4}，A35={-1，2，3}，A36={-1，2，4}，A37={0，2，3}，A38={0，2，4}，

A39={0，3，4}，A40={1，2，4}，A41={1，3，4}，A42={-1，0，1，2}，A43={-1，0，1，3}，A44={-1，0，1，4}，

A45={0，1，2，3}，A46={0，1，2，4}，A47={1，2，3，4}，A48={-1，0，2，3}，A49={-1，0，2，4}，

A50={-1，0，3，4}，A51={0，1，3，4}，A52={-1，1，2，3}，A53={-1，1，2，4}，A54={-1，1，3，4}，

A55={-1，2，3，4}，A56={0，2，3，4}，A57={-1，0，1，2，3}，A58={-1，0，1，2，4}，A59={-1，0，1，3，4}，

A60={-1，1，2，3，4}，A61={0，1，2，3，4}，A62={-1，0，2，3，4}，A63={-1，0，1，2，3，4}．

∴MA1=(-1)-1×(-1)=1，MA2=(-1)0×0=0，MA3=(-1)1×1=-1，MA4=(-1)2×2=2，

MA5=(-1)3×3=-3，MA6=(-1)4×4=4，MA7=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0=1，

MA8=(-1)-1×(-1)+(-1)1×1=0，MA9=(-1)-1×(-1)+(-1)2×2=3，

MA10=(-1)-1 ×(-1)+(-1)3×3=-2，MA11=(-1)-1×(-1)+(-1)4×4=5，

MA12=(-1)0×0+(-1)1×1=-1，MA13=(-1)0×0+(-1)2×2=2，

MA14=(-1)0×0+(-1)3×3=-3，MA15=(-1)0×0+(-1)4×4=4，

MA 16=(-1)1×1+(-1)2×2=1，MA17=(-1)1×1+(-1)3×3=-4，

MA18=(-1)1×1+(-1)4×4=3，MA19=(-1)2×2+(-1)3×3=-1，

MA20=(-1)2×2+(-1)4×4=6，MA21=(-1)3 ×3+(-1)4×4=1，

MA22=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)1×1=0，MA23=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)2×2=3，

MA24=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)3×3=-2，MA25=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)4×4=5，

MA26=(-1)0×0+(-1)1×1+(-1)2×2=1，MA27=(-1)0×0+(-1)1×1+(-1)3×3=-4，

MA28=(-1)0×0+(-1)1×1+(-1)4 ×4=3，MA29=(-1)1×1+(-1)2×2+(-1)3×3=-2，

MA30=(-1)1×1+(-1)2×2+(-1)4×4=5，MA31=(-1)2×2+(-1)3×3+(-1)4×4=3，

MA32=(-1)-1×(-1)+(-1)1×1+(-1)2×2=2，MA33=(-1)-1×(-1)+(-1)1×1+(-1)3×3=-3，

MA34=(-1)-1×(-1)+(-1)1×1+(-1)4×4=4，MA35=(-1)-1×(-1)+(-1)2×2+(-1)3×3=0，

MA36=(-1)-1×(-1)+(-1)2×2+(-1)4×4=7，MA37=(-1)0×0+(-1)2×2+(-1)3×3=-1，

MA38=(-1)0×0+(-1)2×2+(-1)4×4=6，MA39=(-1)0×0+(-1)3×3+(-1)4×4=1，

MA40=(-1)1×1+(-1)2×2+(-1)4×4=5，MA41=(-1)1×1+(-1)3×3+(-1)4×4=0，

MA42=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)1×1+(-1)2×2=2，

MA43=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)1×1+（-1）3×3=-3，

MA44=(-1) -1×(-1)+(-1)0×0+（-1）1×1+（-1）4×4=4，

MA45=(-1)0×0+(-1)1×1+（-1）2×2+（-1）3×3=-2，

MA46=(-1)0× 0+(-1)1×1+（-1）2×2+（-1）4×4=5，

MA47=(-1)1×1+(-1)2×2+(-1)3×3+（-1）4×4=2，

MA48=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+（-1）2×2+（-1）3×3=0，

MA49=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+（-1）2×2+（-1）4×4=7，

MA50 =(-1)-1× (-1)+(-1)0×0+（-1）3×3+（-1）4×4=2，

MA51=(-1)0×0+(-1)1×1+（-1）3×3+（-1）4×4=0，

MA52=(-1)-1×(-1)+(-1)1×1+（-1）2×2+（-1）3×3=-1，

MA53=(-1)-1×(-1)+(-1)1×1+（-1）2×2+（-1）4×4=6，

MA54=(-1)-1×(-1)+(-1)1×1+（-1）3×3+（-1）4×4=1，

MA55=(-1)-1×(-1)+(-1)2×2+（-1）3×3+（-1）4×4=4，

MA56=(-1)0×0+(-1)2×2+（-1）3×3+（-1）4×4=3，

MA57=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)1×1+（-1）2×2+（-1）3×3=-1，

MA58=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)1×1+（-1）2×2+（-1）4×4=6，

MA59=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)1×1+（-1）3×3+（-1）4×4=1，

MA60=(-1)-1×(-1)+(-1)1×1+(-1)2×2+（-1）3×3+（-1）4×4=3，

MA61=(-1)0×0+(-1)1×1+(-1)2×2+（-1）3×3+（-1）4×4=2，

MA62=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)2×2+（-1）3×3+（-1）4×4=4，

MA63=(-1)-1×(-1)+(-1)0×0+(-1)1×1+（-1）2×2+（-1）3×3+（-1）4×4=3．

∴集合A所有非空子集的特征值的和=100．

故答案为：100．

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题型：简答题

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简答题

设矩阵M＝.

(1)求矩阵M的逆矩阵M－1；

(2)求矩阵M的特征值．

正确答案

（1）（2）－1或5

(1)易知矩阵A＝ (ad－bc≠0)的逆矩阵为

又1×3－2×4＝－5，

所以矩阵M的逆矩阵

(2)矩阵M的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－4λ－5.

令f(λ)＝0，得λ＝－1或5.

所以M的特征值为－1或5.

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题型：简答题

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简答题

、已知函数，，是参数，，，

（1）、若，判别的奇偶性；

若，判别的奇偶性；（6分）

（2）、若，是偶函数，求（4分）

（3）、请你仿照问题（1）（2）提一个问题（3），使得所提问题或是（1）的推广或是问题（2）的推广，问题（1）或（2）是问题（3）的特例。（不必证明命题）

将根据写出真命题所体现的思维层次和对问题探究的完整性，给予不同的评分。（8分）

正确答案

（1）解：，

2分

,

3分

所以是偶函数 4分

5分

所以是非奇非偶函数 6分

（2）（理）方法一（积化和差）：为偶函数，

8分

为偶函数，所以是偶函数， 9分

， 10分

方法二（定义法）：为偶函数

所以

展开整理对一切恒成立 8分

， 10分

方法三（特殊值法）：为偶函数

所以

所以8分

， 10分

（文）、方法一（定义法）：，

偶函数，，

， 8分

， 10分

方法二（特殊值法）：为偶函数

所以

所以 8分

， 10分

（3）第一层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以， 13分

1、是偶函数；

2、是奇函数；

3、是非奇非偶函数；

4、既奇又偶函数

第二层次，写出任何一种的一个（加法或乘法）均可以， 14分

1、是偶函数（数字不分奇偶）

2、是奇函数是偶函数

（数字只能同奇数）

3、是非奇非偶函数（数字不分奇偶，但需相同）

4、是既奇又偶函数（数字只能奇数）

是非奇非偶函数

第三层次，写出逆命题任何一种的一个（加法或乘法）均可以， 15分

1、是偶函数（数字不分奇偶，但相同），则

2、是奇函数（数字只能正奇数），则

是偶函数（数字只能正偶数），则

3、是偶函数（数字只能正奇数），则

第四层次，写出充要条件中的任何一种均可以， 16分

1、的充要条件是是偶函数

2、是奇函数（数字只能正奇数）的充要条件是

是偶函数（数字只能正偶数）的充要条件是

3、是偶函数（数字只能正奇数）的充要条件是则

第五层次，写出任何一种均可以（逆命题，充要条件等均可以，限于篇幅省略） 18分

1、时，都是偶函数

2、时，是正奇数，是奇函数

时，是正偶数，是偶函数

3、，奇数，既奇又偶函数

4、，偶数，是非奇非偶函数

略

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题型：简答题

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简答题

已知在矩阵M对应的变换作用下，点A(1,0)变为A′(1,0)，点B(1,1)变为B′(2,1)．

（1）求矩阵M；

（2）求，，并猜测（只写结果，不必证明）．

正确答案

（1）；（2），，.

试题分析：本小题主要考查矩阵与变换、矩阵的乘法等基础知识；考查运算求解能力；函数与方程、特殊与一般的数学思想．第一问，根据矩阵的变换，列出方程，解出a，b，c，d；第二问，根据矩阵的乘法公式计算，，观察总结规律得到.

试题解析：（1）设，则，， 1分

∴，解得． 2分

∴． 3分

（2）， 4分

， 6分

猜测． 7分

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题型：简答题

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简答题

已知M＝，N＝，向量α＝.

(1)验证：(MN)α＝M(Nα)；

(2)验证这两个矩阵不满足MN＝NM.

正确答案

（1）见解析（2）见解析

(1)因为MN＝＝，所以(MN)α＝＝.

因为Nα＝＝，所以M(Nα)＝＝，所以(MN)α＝M(Nα)．

(2)因为MN＝，NM＝，

所以这两个矩阵不满足MN＝NM.

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题型：填空题

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填空题

已知，则=_______

正确答案

试题分析：由于，所以，所以　．

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题型：填空题

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填空题

线性方程组的增广矩阵是______．

正确答案

线性方程组即为，故所求增广矩阵是，

故答案为．

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题型：简答题

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简答题

设矩阵M=（其中a＞0，b＞0）．

（1）若a=2，b=3，求矩阵M的逆矩阵M－1；

（2）若曲线C：x2+y2=1在矩阵M所对应的线性变换作用下得到曲线C’：，求a，b的值．

正确答案

（1）

（2）

（1）设矩阵M的逆矩阵，则

又M=，所以=，

所以,即,

故所求的逆矩阵

（2）设曲线C上任意一点P(x,y)，

它在矩阵M所对应的线性变换作用下得到点，

则=,即

又点在曲线C′上，所以,

则为曲线C的方程，

又已知曲线C的方程为,故

又a＞0，b＞0，所以

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