热门试卷

根据题意，得（）（）=（）

∴2α=4，可得α=2，即M=（）

设P（x0，y0）是曲线C：x2+y2=1上任意一点，

则点P（x0，y0）在矩阵M对应的变换下变为点P′（x，y）

则有（）=（）（），即，所以

又∵点P在曲线C：x2+y2=1上，

∴+x2=1，即曲线C'的方程为椭圆x2+=1．

由矩阵A属于特征值1的一个特征向量为α1=[]，即3a-b=3；3分

由矩阵A属于特征值5的一个特征向量为α2=11，可得=5，即a+b=5，6分

解得即A=，7分

A的逆矩阵是10分

（1）设M=，则=8=，

故=，

故

联立以上两方程组解得a=6，b=2，c=4，d=4，

故M=．

（2）由（1）知，矩阵M的特征多项式为f（λ）=（λ-6）（λ-4）-8=λ2-10λ+16，

故其另一个特征值为λ=2．

设矩阵M的另一个特征向量是e2=，

则M e2==2，

解得2x+y=0．

（3）设点（x，y）是直线l上的任一点，

其在矩阵M的变换下对应的点的坐标为（x′，y′），

则=，

即x=x′-y′，y=-x′+y′，

代入直线l的方程后并化简得x′-y′+2=0，

即x-y+2=0．

解：（方法一）在直线l上取两点（，0），（0，﹣3）．

因为 =，=，

因为M对应的变换把直线变换为自身，

所以点（﹣，b），（﹣3a，﹣9）仍在直线l上．

代入直线方程得解得

（方法二）设（x，y）为直线l上任意一点，则=，

因为M对应的变换把直线变换为自身，

所以点（﹣x+ay，bx+3y）仍在直线l上，

代入直线方程得：2（﹣x+ay）﹣（bx+3y）=3，

化简得（﹣2﹣b）x+（2a﹣3）y=3，

又直线l：2x﹣y=3，

所以解得

由题设条件可得，＝2，即解得得矩阵A＝.

矩阵A的特征多项式为f(λ)＝＝λ2－5λ＋6，令f(λ)＝0，解得

λ1＝2，λ2＝3.

当λ1＝2时，得α1＝；当λ2＝3时，得α2＝，

由β＝mα1＋nα2，得得m＝3，n＝1，

∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(α1)＋α2＝3×25＋35＝

设A=，由题知=，=3（2分）

即，（6分）

解之得：∴A=（10分）

（1）设直线2x-y-3=0上任意一点P（x，y）在变换TA的作用下变成点P'（x'，y'），

由题意知2x'-y'-3=0，由=

得x'=-x+ay，y'=bx+3y，…（2分）

代入直线2x'-y'-3=0得2（-x+ay）-（bx+3y）-3=0，

即（-b-2）x+（2a-3）y-3=0，

由点P（x，y）的任意性可得-b-2=2，2a-3=-1，

解得a=1，b=-4．         …（5分）

（2）由（1）得A2==，…（7分）

则A2==．                     …（10分）

（1）解：

（I）的特征多项式为

令，得1，    ……………………………………………………2分

当1时，得；当时，得    ……………………………4分

(II)由得，得     ……………………………5分

   …………………………7分

（2）解：（Ⅰ）化简为，

∴直线l的直角坐标方程为；   ……………………………………………3分

（Ⅱ）设点P的坐标为，

得P到直线l的距离， ………………………………………5分

即，其中．  

当时，．  …………………………………………7分

（3）m 解：（Ⅰ），

，

  ………………………4分

（Ⅱ）不妨设长方体同一个顶点出发的三条棱长分别等于a、b、c，

      ………………………7分

略

（1）矩阵A的特征多项式为f（λ）==λ2-5λ+6=0，

得λ1=2，λ2=3，

当λ1=2时，α1=，当λ2=3时，得α2=．

（2）由β=mα1+nα2=m +n =，

得：解得 ，则β=3α1+α2

∴A5β=A5（3α1+α2）=3（A5α1）+A5α2=3（ α1）+α2=3×25+35=．