热门试卷

f(x)=2msin2x-2msinx•cosx

=-2msin(2x+)+m

由x∈[0，]⇒2x+∈[，]⇒sin(2x+)∈[-，1]…4’

当m＞0时，f（x）max=-2m(-)+m=4，

解得m=2，…6’

从而，g(x)=2sinx+2cosx=2sin(x+)（x∈R），

T=2π，最大值为2，最小值为-2；…8’

当m＜0时，f（x）max=-2m•1+m=4，

解得m=-4，…10’

从而，g(x)=-4sinx+2cosx=2sin(x-arctan)，

函数的最小正周期为：T=2π，

最大值为2，最小值为-2．…12’

（Ⅰ）由f(λ)==(λ-3)(λ-4)-6=0得λ1=6，λ2=1，

将λ1=6代入特征方程组，得⇒x-y=0．

可取为属于特征值λ1=6的一个特征向量．（8分）

将λ2=1代入特征方程组，同理得为属于特征值λ2=1的一个特征向量．

（II）设向量α=，由]2=，

得，

∴α=．

略

（1）设直线2x-y-3=0上任意一点P（x，y）在变换TA的作用下变成点P'（x'，y'），

由题意知2x'-y'-3=0，由=

得x'=-x+ay，y'=bx+3y，…（2分）

代入直线2x'-y'-3=0得2（-x+ay）-（bx+3y）-3=0，

即（-b-2）x+（2a-3）y-3=0，

由点P（x，y）的任意性可得-b-2=2，2a-3=-1，

解得a=1，b=-4．         …（5分）

（2）由（1）得A2==，…（7分）

则A2==．                     …（10分）

（1）设矩阵M=依题意得，=→，

∴（1，0）变换为（1，1）得：a=1，c=1，

（0，） 变换为（-，） 得：b=-1，d=1

所求矩阵M=…（5分）

（2）变换T所对应关系解得…（7分）

代入x2-y2=1得：x′y′=1，

故x2-y2=1在变换T的作用下所得到的曲线方程得xy=1 …（10分）

矩阵M的特征多项式为f（λ）==（λ-3）2-1，

令f（λ）=（λ-3）2-1=0，可求得特征值为λ1=4，λ2=2，

设λ1=4对应的一个特征向量为α=，

则由λ1α=Mα，得

得x=-y，可令x=1，则y=-1，

所以矩阵M的一个特征值λ1=4对应的一个特征向量为α1=，

同理可得矩阵M的一个特征值λ2=2对应的一个特征向量为α2=．

∴它们对应的一个特征向量分别为α1=，α2=．

（1）（2），

试题分析：（1）由于二阶矩阵M有特征值，其对应的一个特征向量e=，并且矩阵M对应的变换将点变换成点.所以通过假设二阶矩阵，其中有四个变量，根据以上的条件特征值与特征向量，以及点通过矩阵的变换得到的点，可得到四个相应的方程，从而解得结论.

（2）求矩阵M的特征值，根据特征多项式.即，可求得的值，即可得另一个特征值.即可写出相应的一个特征向量.

试题解析：（1）解：（1）设M=，则由=6得=，

即a+b=c+d=6． 

由=,得，从而a+2b=8，c+2d=4．

由a+b =6及a+2b=8，解得a=4，b=2；

由c+d =6及c+2d=4，解得c=8，d=-2，

所以M=

（2）由（1）知矩阵的特征多项式为

令，得矩阵的特征值为6与．

当时，

故矩阵的属于另一个特征值的一个特征向量为．