热门试卷

（1）矩阵A的特征多项式为f(λ)==λ2-5λ+6，

令f（λ）=0，得λ1=2，λ2=3，

当λ1=2时，得=，当λ2=3时，得=．（7分）

（2）由=m+n得，得m=3，n=1．

∴A5=A5(3+)=3(A5)+A5=3()+=3×25+35=．（15分）

A-1=

设2×2矩阵A=(a,b,c,d∈R),则有=3,

且=-1,

即且

解得a=1,b=2,c=2,d=1.

∴A=,从而A-1=.

（1）M-1=（2）X =

（1）设M-1=，

依题意有=

即=，

则∴

∴M-1=.

（2）∵矩阵X满足MX=，

∴矩阵X=M-1==.

所求的C′方程为xy=

由题意，得旋转变换矩阵

M==，

任意选取双曲线x2-y2=1上的一点P（x0,y0），

它在变换TM作用下变为P′(x′0,y′0),

则有M=，故,

∴，

又因为点P在曲线x2-y2=1上，所以-=1,

即有2=1.∴所求的C′方程为xy=.

（1）-4（2）矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为.

（1）由=

得a+1=-3a=-4.

（2）由（1）知A=

则矩阵A的特征多项式为

f（）==（-1）2-4=2-2-3

令f()=0,得矩阵A的特征值为-1或3.

设矩阵A的特征向量为

当=-1时，="(-1)"

即,所以y=2x.

∴矩阵A的属于特征值-1的一个特征向量为.

当=3时，=3,

即,所以2x+y=0.

∴矩阵A的属于特征值3的一个特征向量为.

（Ⅰ）绕原点逆时针旋转90°的变换M2=．（4分）

∴M=M2M1=--------（5分）

（Ⅱ）由阵M的特征多项式为f（λ）==λ2-3λ-4

令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为-1与4．

当λ=-1时，x+y=0，此时的一个特征向量为；

当λ=4时，2x-3y=0此时的一个特征向量为．--------（13分）

设M=

由M=，得=，

b=1，d=0

又由M=，得=

，

∴M=

因为M2==是恒等变换矩阵，

M100也是恒等变换矩阵．

M100=

矩阵M的特征多项式为=（λ-1）（λ-x）-4…（1分）

因为λ1=3方程f（λ）=0的一根，所以x=1…（3分）

由（λ-1）（λ-1）-4=0得λ2=-1，…（5分）

设λ2=-1对应的一个特征向量为α=，

则得x=-y…（8分）

令x=1则y=-1，

所以矩阵M的另一个特征值为-1，对应的一个特征向量为α=…（10分）