- 平面与圆锥面的截线
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选修4-2:矩阵与变换
已知二阶矩阵对应的变换将点(-2,1)变换成点(0,b),求实数a,b的值.
正确答案
解:∵矩阵对应的变换将点(-2,1)变换成点(0,b),
∴=
•
,可得
,
解之得a=2,b=-2
解析
解:∵矩阵对应的变换将点(-2,1)变换成点(0,b),
∴=
•
,可得
,
解之得a=2,b=-2
在直角标系xOy中,点(2,-2)在矩阵M=()对应变换作用下得到点(-2,4),曲线C:x2+y2=1在矩阵M对应变换作用下得到曲线C′,求曲线C′的方程.
正确答案
解:根据题意,得()(
)=(
)
∴2α=4,可得α=2,即M=()
设P(x0,y0)是曲线C:x2+y2=1上任意一点,
则点P(x0,y0)在矩阵M对应的变换下变为点P′(x,y)
则有()=(
)(
),即
,所以
又∵点P在曲线C:x2+y2=1上,
∴+x2=1,即曲线C‘的方程为椭圆x2+
=1.
解析
解:根据题意,得()(
)=(
)
∴2α=4,可得α=2,即M=()
设P(x0,y0)是曲线C:x2+y2=1上任意一点,
则点P(x0,y0)在矩阵M对应的变换下变为点P′(x,y)
则有()=(
)(
),即
,所以
又∵点P在曲线C:x2+y2=1上,
∴+x2=1,即曲线C‘的方程为椭圆x2+
=1.
(Ⅰ)如图,正方形OABC在二阶矩阵M对应的切变变换作用下变为平行四边形OA′B′C′,平行四边形OA‘B'C'在二阶矩阵N对应的旋转变换作用下变为平行四边形OA''B''C'',求将正方形OABC变为平行四边形OA''B''C''的变换对应的矩阵.
(Ⅱ)在直角坐标系xOy中,圆O的参数方程为(θ为参数,r>0).以O为极点,x轴正半轴为极轴,并取相同的单位长度建立极坐标系,直线l的极坐标方程为
.写出圆心的极标,并求当r为何值时,圆O上的点到直线l的最大距离为3.
(Ⅲ)已知a2+2b2+3c2=6,若存在实数a,b,c,使得不等式a+2b+3c>|x+1|成立,求实数x的取值范围.
正确答案
(Ⅰ)解:设正方形OABC变为平行四边形OA‘'B''C''的变换对应的矩阵,
如图点A(2,0)经矩阵M变换为A''(0,2),C(0,2)经矩阵M变换为C''(-2,2),
所以,即
(3分)
,即
(5分)
解得a=0,c=1,b=-1,d=1,
所以.(7分)
(Ⅱ)解:圆心的极坐标.(3分)
直线为x+y-1=0,
圆心O()到直线的距离为d=
,(5分)
圆O上的点到直线的最大距离为+r=3,解得r=
.(7分)
(Ⅲ)由柯西不等式得(a+2b+3c)2≤(a2+2b2+3c2)(1+2+3),
当且仅当a=b=c=1时,等号成立.(3分)
故a+2b+3c的最大值为6,故|x+1|<6,(5分)
解得{x|-7<x<5}.(7分)
解析
(Ⅰ)解:设正方形OABC变为平行四边形OA‘'B''C''的变换对应的矩阵,
如图点A(2,0)经矩阵M变换为A''(0,2),C(0,2)经矩阵M变换为C''(-2,2),
所以,即
(3分)
,即
(5分)
解得a=0,c=1,b=-1,d=1,
所以.(7分)
(Ⅱ)解:圆心的极坐标.(3分)
直线为x+y-1=0,
圆心O()到直线的距离为d=
,(5分)
圆O上的点到直线的最大距离为+r=3,解得r=
.(7分)
(Ⅲ)由柯西不等式得(a+2b+3c)2≤(a2+2b2+3c2)(1+2+3),
当且仅当a=b=c=1时,等号成立.(3分)
故a+2b+3c的最大值为6,故|x+1|<6,(5分)
解得{x|-7<x<5}.(7分)
已知线性变化T把点(1,-1)变成了(1,0),把点(1,1)变成了点(0,1).
(1)求变换T所对应的矩阵M;
(2)求直线y=-1在变换T的作用下得到直线方程.
正确答案
解:(1)设T=,
∵•
=
,
•
=
,
∴,
∴,
∴T=.
(2)在直线y=-1取一点P(x0,-1)在变换T的作用下得到的点为Q(x,y).
∵•
=
,
∴,
∴x-y=1.
∴直线y=-1在变换T的作用下得到直线方程为:x-y-1=0.
解析
解:(1)设T=,
∵•
=
,
•
=
,
∴,
∴,
∴T=.
(2)在直线y=-1取一点P(x0,-1)在变换T的作用下得到的点为Q(x,y).
∵•
=
,
∴,
∴x-y=1.
∴直线y=-1在变换T的作用下得到直线方程为:x-y-1=0.
若二阶矩阵M满足:M=
.
(Ⅰ)求二阶矩阵M;
(Ⅱ)若曲线C:x2+2xy+2y2=1在矩阵M所对应的变换作用下得到曲线C′,求曲线C′的方程.
正确答案
解:(Ⅰ)设,则
,∴
,…(2分)
∴. …(3分)
(Ⅱ)∵,
即…(4分)
代入x2+2xy+2y2=1可得(x‘-y')2+2(x'-y')(-x'+2y')+2(-x'+2y')2=1,即x'2-4x'y'+5y'2=1,
故曲线C'的方程为x2-4xy+5y2=1. …(7分)
解析
解:(Ⅰ)设,则
,∴
,…(2分)
∴. …(3分)
(Ⅱ)∵,
即…(4分)
代入x2+2xy+2y2=1可得(x‘-y')2+2(x'-y')(-x'+2y')+2(-x'+2y')2=1,即x'2-4x'y'+5y'2=1,
故曲线C'的方程为x2-4xy+5y2=1. …(7分)
如图,矩形OABC在变换T的作用下变成了平行四边形OA′B′C′,变换T所对应的矩阵为M,矩阵N是把坐标平面上的点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标伸长到原来的3倍的变换所对应的矩阵.
(Ⅰ)求矩阵M,N;
(Ⅱ)直线l先在矩阵M,再在矩阵N所对应的线性变换作用下像的方程为x+y+1=0.求直线l的方程.
正确答案
解:(Ⅰ)设T,A(2,0)→A′(0,2),B′(2,1)→B′(-1,3),
∴解得
,即有M=
,N=
…4分
(Ⅱ)NM=,
设直线l上任一点(x,y)依次在矩阵M,N即矩阵NM所对应的线性变换作用下对应点(x′,y′),
则代入x′+y′+1=0可得3x+y+1=0,
所以,直线l的方程是3x+y+1=0…7分
解析
解:(Ⅰ)设T,A(2,0)→A′(0,2),B′(2,1)→B′(-1,3),
∴解得
,即有M=
,N=
…4分
(Ⅱ)NM=,
设直线l上任一点(x,y)依次在矩阵M,N即矩阵NM所对应的线性变换作用下对应点(x′,y′),
则代入x′+y′+1=0可得3x+y+1=0,
所以,直线l的方程是3x+y+1=0…7分
设矩阵的逆矩阵是
,则a+c的值为______.
正确答案
解析
解:由题意,矩阵M的行列式为=
+
=1
∴矩阵的逆矩阵是M-1=
∴a+c=.
故答案为.
已知矩阵M=,若向量
在矩阵M的变换下得到向量
.
(Ⅰ) 求矩阵M;
(Ⅱ) 设矩阵,求直线x-y+1=0在矩阵NM的对应变换作用下得到的曲线C的方程.
正确答案
解:(Ⅰ)由==
…(1分)
得,解得
…(2分)
∴M=…(3分)
(Ⅱ)NM==
…(4分)
设点(x,y)是直线x-y+1上1一点,在矩阵NM的对应变换作用下得到的点(x′,y′),则
=
,可得
…(5分)
∴,代入x-y+1=0得2x′-y′+1=0…(6分)
即所求的曲线方程为2x-y-1=0…(7分)
解析
解:(Ⅰ)由==
…(1分)
得,解得
…(2分)
∴M=…(3分)
(Ⅱ)NM==
…(4分)
设点(x,y)是直线x-y+1上1一点,在矩阵NM的对应变换作用下得到的点(x′,y′),则
=
,可得
…(5分)
∴,代入x-y+1=0得2x′-y′+1=0…(6分)
即所求的曲线方程为2x-y-1=0…(7分)
将椭圆+
=1绕其中心逆时针旋转90°,所得曲线的方程是______.
正确答案
=1
解析
解:由旋转变换公式可得:=
,可得:
,
代入椭圆方程可得:=1,
即=1,
故答案为:=1.
设M是把坐标平面上的点的横坐标伸长到2倍,纵坐标伸长到3倍的伸压变换.
(1)求矩阵M逆矩阵;
(2)求矩阵M的特征值及相应的特征向量.
正确答案
解:(1)由条件得矩阵M=----------------------------------------3分
∴|M|=6,
∴矩阵M逆矩阵为;
(2)特征多项式为=0
∴它的特征值为2和3,对应的特征向量为及-------------------------6分
解析
解:(1)由条件得矩阵M=----------------------------------------3分
∴|M|=6,
∴矩阵M逆矩阵为;
(2)特征多项式为=0
∴它的特征值为2和3,对应的特征向量为及-------------------------6分
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