热门试卷

解：（1）由=，∴2-2a=-4⇒a=3．

（2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为

令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为-1与4．

当λ=-1时，

∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为；

当λ=4时，

∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为．

解：设点P（x，y），则点P在矩阵对应的线性变换下得到P（x‘，y'）

满足=A=，得

因此若点P（x，y）在圆C：（x-1）2+（y-2）2=1上，则

点P'（x'，y'）满足（-1）2+（-2）2=1上，即（x'-k）2+（y'-2k）2=k2

对应以C'（k，2k）为圆心，半径为k的圆，

得πk2=4，解之得k=2．

A．证明：BE平面∠ABC．

∵CD=AC，∴∠D=∠CAD．

∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB．

∵∠EBC=∠CAD，∴∠EBC=∠D=∠CAD．  …（5分）

∵∠ABC=∠ABE+∠EBC，∠ACB=∠D+∠CAD．

∴∠ABE=∠EBC，即BE平面∠ABC．  …（10分）

B．解：设P（x，y）是所求曲线C上的任意一点，它是曲线y=sinx上点P0（x0，y0）在矩阵M变换下的对应点，

则有，…（5分）

所以，又点P0（x0，y0）在曲线y=sinx上，

即y0=sinx0，从而=sin2x，

所求曲线C的方程为y=2sin2x．…（10分）

C．解：曲线C的极坐标方程（sinθ+cosθ），…（5分）

化为直角坐标方程为x2+y2-2y=0，

即=4．…（10分）

D．解：注意到x，y，z∈R，且x+y+z=3为定值，

利用柯西不等式得到（x2+y2+z2）（12+12+12）≥（x×1+y×1+z×1）2=9，

…（5分）

从而x2+y2+z2≥3，当且仅当x=y=z=1时取“=”号，

所以x2+y2+z2的最小值为3．   …（10分）

解：（1）任取直线l：x+y=0上一点P（x′，y′），

经矩阵变换后点为P′（x，y），则有（x′，y′）=（x，y），

可得，解得，

代入直线l：x′+y′=0，化简得3x-y=0．

直线l′的方程3x-y=0；

（2）∵矩阵A=，

∴|A|=1×2-2×（-1）=4，

∴A-1=．

解：则有 =，

所以 ，

解得 ，所以T=，

矩阵T的特征多项式为 f（λ）==λ2-2λ-1，

令f（λ）=0，得λ1=-1，λ2=3，

当λ1=-1时，得  =，当λ2=3时，得=．（7分）

由  =m +n 得  ，得m=2，n=1．

∴A4=2λ+λ=（15分）