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题型:简答题
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简答题

已知矩阵M=,其中a∈R,若点P(1,-2)在矩阵M的变换下得到点P′(-4,0)

(1)求实数a的值;

(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.

正确答案

解:(1)由=,∴2-2a=-4⇒a=3.

(2)由(1)知M=,则矩阵M的特征多项式为

令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为-1与4.

当λ=-1时,

∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为

当λ=4时,

∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为

解析

解:(1)由=,∴2-2a=-4⇒a=3.

(2)由(1)知M=,则矩阵M的特征多项式为

令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为-1与4.

当λ=-1时,

∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为

当λ=4时,

∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为

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题型:简答题
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简答题

在平面直角坐标系xOy中,设圆C:(x-1)2+(y-2)2=1在矩阵对应的线性变换下得到曲线F所围图形的面积为4π,求k的值.

正确答案

解:设点P(x,y),则点P在矩阵对应的线性变换下得到P(x‘,y')

满足=A=,得

因此若点P(x,y)在圆C:(x-1)2+(y-2)2=1上,则

点P'(x',y')满足(-1)2+(-2)2=1上,即(x'-k)2+(y'-2k)2=k2

对应以C'(k,2k)为圆心,半径为k的圆,

得πk2=4,解之得k=2.

解析

解:设点P(x,y),则点P在矩阵对应的线性变换下得到P(x‘,y')

满足=A=,得

因此若点P(x,y)在圆C:(x-1)2+(y-2)2=1上,则

点P'(x',y')满足(-1)2+(-2)2=1上,即(x'-k)2+(y'-2k)2=k2

对应以C'(k,2k)为圆心,半径为k的圆,

得πk2=4,解之得k=2.

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题型: 单选题
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单选题

将函数y=-sinx(x∈[0,π])的图象绕原点顺时针方向旋转角得到曲线C,对于每一个旋转角θ,曲线C都是一个函数的图象,则θ的最大值是(  )

A

B

C

D

正确答案

B

解析

解:先画出函数y=-sinx(x∈[0,π])的图象

这是一段三角函数图象的弧,其在原点的切线的斜率k=-cos0=-1,

由图可知:

当此圆弧绕坐标原点顺时针方向旋转时,旋转的角θ大于时,

旋转所得的图象与垂直于x轴的直线就有两个交点,

曲线C都不是一个函数的图象,

则θ的最大值为:-∠MOB=

故选B.

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题型:简答题
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简答题

[选做题]在下面A,B,C,D四个小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.

A.选修4-1:几何证明选讲

如图,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE与AC交于点F,判断BE是否平分∠ABC,并说明理由.

B.选修4-2:短阵与变换

已知矩阵,矩阵M对应的变换把曲线y=sinx变为曲线C,求C的方程.

C.选修4-4:坐标系与参数方程

已知曲线C的极坐标方程是,求曲线C的普通方程.

D.选修4-5:不等式选讲

已知x,y,z∈R,且x+y+z=3,求x2+y2+z2的最小值.

正确答案

A.证明:BE平面∠ABC.

∵CD=AC,∴∠D=∠CAD.

∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.

∵∠EBC=∠CAD,∴∠EBC=∠D=∠CAD.  …(5分)

∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB=∠D+∠CAD.

∴∠ABE=∠EBC,即BE平面∠ABC.  …(10分)

B.解:设P(x,y)是所求曲线C上的任意一点,它是曲线y=sinx上点P0(x0,y0)在矩阵M变换下的对应点,

则有,…(5分)

所以,又点P0(x0,y0)在曲线y=sinx上,

即y0=sinx0,从而=sin2x,

所求曲线C的方程为y=2sin2x.…(10分)

C.解:曲线C的极坐标方程(sinθ+cosθ),…(5分)

化为直角坐标方程为x2+y2-2y=0,

=4.…(10分)

D.解:注意到x,y,z∈R,且x+y+z=3为定值,

利用柯西不等式得到(x2+y2+z2)(12+12+12)≥(x×1+y×1+z×1)2=9,

…(5分)

从而x2+y2+z2≥3,当且仅当x=y=z=1时取“=”号,

所以x2+y2+z2的最小值为3.   …(10分)

解析

A.证明:BE平面∠ABC.

∵CD=AC,∴∠D=∠CAD.

∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.

∵∠EBC=∠CAD,∴∠EBC=∠D=∠CAD.  …(5分)

∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB=∠D+∠CAD.

∴∠ABE=∠EBC,即BE平面∠ABC.  …(10分)

B.解:设P(x,y)是所求曲线C上的任意一点,它是曲线y=sinx上点P0(x0,y0)在矩阵M变换下的对应点,

则有,…(5分)

所以,又点P0(x0,y0)在曲线y=sinx上,

即y0=sinx0,从而=sin2x,

所求曲线C的方程为y=2sin2x.…(10分)

C.解:曲线C的极坐标方程(sinθ+cosθ),…(5分)

化为直角坐标方程为x2+y2-2y=0,

=4.…(10分)

D.解:注意到x,y,z∈R,且x+y+z=3为定值,

利用柯西不等式得到(x2+y2+z2)(12+12+12)≥(x×1+y×1+z×1)2=9,

…(5分)

从而x2+y2+z2≥3,当且仅当x=y=z=1时取“=”号,

所以x2+y2+z2的最小值为3.   …(10分)

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题型:简答题
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简答题

已知矩阵A=

(1)矩阵A=对应的变换把直线l:x+y=0变为直线l′,求直线l′的方程.

(2)求A的逆矩阵A-1

正确答案

解:(1)任取直线l:x+y=0上一点P(x′,y′),

经矩阵变换后点为P′(x,y),则有(x′,y′)=(x,y),

可得,解得

代入直线l:x′+y′=0,化简得3x-y=0.

直线l′的方程3x-y=0;

(2)∵矩阵A=

∴|A|=1×2-2×(-1)=4,

∴A-1=

解析

解:(1)任取直线l:x+y=0上一点P(x′,y′),

经矩阵变换后点为P′(x,y),则有(x′,y′)=(x,y),

可得,解得

代入直线l:x′+y′=0,化简得3x-y=0.

直线l′的方程3x-y=0;

(2)∵矩阵A=

∴|A|=1×2-2×(-1)=4,

∴A-1=

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题型:填空题
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填空题

已知矩阵A=,B=满足AX=B,求矩阵X.

正确答案

解析

解:设x=,由=

解得

此时x=

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题型:填空题
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填空题

方程组的增广矩阵为______

正确答案

解析

解:由题意,方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵

故方程组的增广矩阵是

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

已知向量=,变换T的矩阵为A=,平面上的点P(1,1)在变换T作用下得到点P′(3,3),求A4

正确答案

解:则有 =

所以

解得 ,所以T=

矩阵T的特征多项式为 f(λ)=2-2λ-1,

令f(λ)=0,得λ1=-1,λ2=3,

当λ1=-1时,得  =,当λ2=3时,得=.(7分)

由  =m +n 得  ,得m=2,n=1.

∴A4=2λ=(15分)

解析

解:则有 =

所以

解得 ,所以T=

矩阵T的特征多项式为 f(λ)=2-2λ-1,

令f(λ)=0,得λ1=-1,λ2=3,

当λ1=-1时,得  =,当λ2=3时,得=.(7分)

由  =m +n 得  ,得m=2,n=1.

∴A4=2λ=(15分)

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题型:填空题
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填空题

向量经矩阵变化后得到的矩阵为______

正确答案

解析

解:由题意=

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

已知点M(3,-1)绕原点按逆时针方向旋转90°后,且在矩阵A=对应的变换作用下,得到点N(3,-5)求a,b的值.

正确答案

解:绕原点按逆时针旋转90°的变换矩阵为

所以=

=

所以

所以a=3,b=-2.

解析

解:绕原点按逆时针旋转90°的变换矩阵为

所以=

=

所以

所以a=3,b=-2.

百度题库 > 高考 > 数学 > 平面与圆锥面的截线

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