- 平面与圆锥面的截线
- 共736题
已知矩阵M=,其中a∈R,若点P(1,-2)在矩阵M的变换下得到点P′(-4,0)
(1)求实数a的值;
(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量.
正确答案
解:(1)由=
,∴2-2a=-4⇒a=3.
(2)由(1)知M=,则矩阵M的特征多项式为
令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为-1与4.
当λ=-1时,
∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为;
当λ=4时,
∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.
解析
解:(1)由=
,∴2-2a=-4⇒a=3.
(2)由(1)知M=,则矩阵M的特征多项式为
令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为-1与4.
当λ=-1时,
∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为;
当λ=4时,
∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为.
在平面直角坐标系xOy中,设圆C:(x-1)2+(y-2)2=1在矩阵对应的线性变换下得到曲线F所围图形的面积为4π,求k的值.
正确答案
解:设点P(x,y),则点P在矩阵对应的线性变换下得到P(x‘,y')
满足=A
=
,得
因此若点P(x,y)在圆C:(x-1)2+(y-2)2=1上,则
点P'(x',y')满足(-1)2+(
-2)2=1上,即(x'-k)2+(y'-2k)2=k2
对应以C'(k,2k)为圆心,半径为k的圆,
得πk2=4,解之得k=2.
解析
解:设点P(x,y),则点P在矩阵对应的线性变换下得到P(x‘,y')
满足=A
=
,得
因此若点P(x,y)在圆C:(x-1)2+(y-2)2=1上,则
点P'(x',y')满足(-1)2+(
-2)2=1上,即(x'-k)2+(y'-2k)2=k2
对应以C'(k,2k)为圆心,半径为k的圆,
得πk2=4,解之得k=2.
将函数y=-sinx(x∈[0,π])的图象绕原点顺时针方向旋转角得到曲线C,对于每一个旋转角θ,曲线C都是一个函数的图象,则θ的最大值是( )
正确答案
解析
解:先画出函数y=-sinx(x∈[0,π])的图象
这是一段三角函数图象的弧,其在原点的切线的斜率k=-cos0=-1,
由图可知:
当此圆弧绕坐标原点顺时针方向旋转时,旋转的角θ大于时,
旋转所得的图象与垂直于x轴的直线就有两个交点,
曲线C都不是一个函数的图象,
则θ的最大值为:-∠MOB=
故选B.
[选做题]在下面A,B,C,D四个小题中只能选做两题,每小题10分,共20分.
A.选修4-1:几何证明选讲
如图,⊙O是等腰三角形ABC的外接圆,AB=AC,延长BC到点D,使CD=AC,连接AD交⊙O于点E,连接BE与AC交于点F,判断BE是否平分∠ABC,并说明理由.
B.选修4-2:短阵与变换
已知矩阵,矩阵M对应的变换把曲线y=sinx变为曲线C,求C的方程.
C.选修4-4:坐标系与参数方程
已知曲线C的极坐标方程是,求曲线C的普通方程.
D.选修4-5:不等式选讲
已知x,y,z∈R,且x+y+z=3,求x2+y2+z2的最小值.
正确答案
A.证明:BE平面∠ABC.
∵CD=AC,∴∠D=∠CAD.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵∠EBC=∠CAD,∴∠EBC=∠D=∠CAD. …(5分)
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB=∠D+∠CAD.
∴∠ABE=∠EBC,即BE平面∠ABC. …(10分)
B.解:设P(x,y)是所求曲线C上的任意一点,它是曲线y=sinx上点P0(x0,y0)在矩阵M变换下的对应点,
则有,…(5分)
所以,又点P0(x0,y0)在曲线y=sinx上,
即y0=sinx0,从而=sin2x,
所求曲线C的方程为y=2sin2x.…(10分)
C.解:曲线C的极坐标方程(sinθ+cosθ),…(5分)
化为直角坐标方程为x2+y2-2y=0,
即=4.…(10分)
D.解:注意到x,y,z∈R,且x+y+z=3为定值,
利用柯西不等式得到(x2+y2+z2)(12+12+12)≥(x×1+y×1+z×1)2=9,
…(5分)
从而x2+y2+z2≥3,当且仅当x=y=z=1时取“=”号,
所以x2+y2+z2的最小值为3. …(10分)
解析
A.证明:BE平面∠ABC.
∵CD=AC,∴∠D=∠CAD.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠ACB.
∵∠EBC=∠CAD,∴∠EBC=∠D=∠CAD. …(5分)
∵∠ABC=∠ABE+∠EBC,∠ACB=∠D+∠CAD.
∴∠ABE=∠EBC,即BE平面∠ABC. …(10分)
B.解:设P(x,y)是所求曲线C上的任意一点,它是曲线y=sinx上点P0(x0,y0)在矩阵M变换下的对应点,
则有,…(5分)
所以,又点P0(x0,y0)在曲线y=sinx上,
即y0=sinx0,从而=sin2x,
所求曲线C的方程为y=2sin2x.…(10分)
C.解:曲线C的极坐标方程(sinθ+cosθ),…(5分)
化为直角坐标方程为x2+y2-2y=0,
即=4.…(10分)
D.解:注意到x,y,z∈R,且x+y+z=3为定值,
利用柯西不等式得到(x2+y2+z2)(12+12+12)≥(x×1+y×1+z×1)2=9,
…(5分)
从而x2+y2+z2≥3,当且仅当x=y=z=1时取“=”号,
所以x2+y2+z2的最小值为3. …(10分)
已知矩阵A=
(1)矩阵A=对应的变换把直线l:x+y=0变为直线l′,求直线l′的方程.
(2)求A的逆矩阵A-1.
正确答案
解:(1)任取直线l:x+y=0上一点P(x′,y′),
经矩阵变换后点为P′(x,y),则有(x′,y′)=(x,y),
可得,解得
,
代入直线l:x′+y′=0,化简得3x-y=0.
直线l′的方程3x-y=0;
(2)∵矩阵A=,
∴|A|=1×2-2×(-1)=4,
∴A-1=.
解析
解:(1)任取直线l:x+y=0上一点P(x′,y′),
经矩阵变换后点为P′(x,y),则有(x′,y′)=(x,y),
可得,解得
,
代入直线l:x′+y′=0,化简得3x-y=0.
直线l′的方程3x-y=0;
(2)∵矩阵A=,
∴|A|=1×2-2×(-1)=4,
∴A-1=.
已知矩阵A=,B=
满足AX=B,求矩阵X.
正确答案
解析
解:设x=,由
=
得解得
此时x=
方程组的增广矩阵为______.
正确答案
解析
解:由题意,方程组的增广矩阵为其系数及常数项构成的矩阵
故方程组的增广矩阵是
.
故答案为:.
已知向量=
,变换T的矩阵为A=
,平面上的点P(1,1)在变换T作用下得到点P′(3,3),求A4
.
正确答案
解:则有 =
,
所以 ,
解得 ,所以T=
,
矩阵T的特征多项式为 f(λ)==λ2-2λ-1,
令f(λ)=0,得λ1=-1,λ2=3,
当λ1=-1时,得 =
,当λ2=3时,得
=
.(7分)
由 =m
+n
得
,得m=2,n=1.
∴A4=2λ
+λ
=
(15分)
解析
解:则有 =
,
所以 ,
解得 ,所以T=
,
矩阵T的特征多项式为 f(λ)==λ2-2λ-1,
令f(λ)=0,得λ1=-1,λ2=3,
当λ1=-1时,得 =
,当λ2=3时,得
=
.(7分)
由 =m
+n
得
,得m=2,n=1.
∴A4=2λ
+λ
=
(15分)
向量经矩阵
变化后得到的矩阵为______.
正确答案
解析
解:由题意=
,
故答案为:.
已知点M(3,-1)绕原点按逆时针方向旋转90°后,且在矩阵A=对应的变换作用下,得到点N(3,-5)求a,b的值.
正确答案
解:绕原点按逆时针旋转90°的变换矩阵为,
所以=
,
由=
,
所以,
所以a=3,b=-2.
解析
解:绕原点按逆时针旋转90°的变换矩阵为,
所以=
,
由=
,
所以,
所以a=3,b=-2.
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