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题型:简答题
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简答题

选做题

(A)选修4-1:几何证明选讲

如图,AB是半圆O的直径,延长AB到C,使,CD切半圆于点D,DE⊥AB,垂足为E,若AE:EB=3:1,求DE的长.

(B)选修4-2:矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx在矩阵对应的变换下得到的直线经过点P(4,1),求实数k的值.

(C)选修4-4:坐标系与参数方程

在极坐标系中,已知圆ρ=asinθ(a>0)与直线相切,求实数a的值.

(D)选修4-5:不等式选讲

已知a,b,c满足abc=1,求证:(a+2)(b+2)(c+2)≥27.

正确答案

解:(A)连接OD,

∵DE⊥AB,垂足为E,且AE:EB=3:1得E是OB的中点

∴可得等腰三角形BOD是等边三角形,

在直角三角形OCD中,∠COD=60°,设圆的半径为R,

∴可得CD=OD=R,

∵CD是圆O的切线,∴由切割线定理得,

∴CD2=CB×CA,

即3R2=×(+2R)

∴R=

∴DE=OE=×=

(B):设变换 T:

则  =,(5分)

代入直线y=kx得y‘=kx',

将点P(4,1)代入,

得k=4.

(C):p2=apcosθ,圆ρ=acosθ的普通方程为:x2+y2=ax,(x-2+y2=(2

直线的普通方程为:x-y-=0,

又圆与直线相切,所以=a,解得:a=4±2

∵a>0,∴a=4+2

(D):(a+2)(b+2)(c+2)

=abc+2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)+8

≥1+2×3+4×3+8

=27,当且仅当a=b=c时等号成立.

解析

解:(A)连接OD,

∵DE⊥AB,垂足为E,且AE:EB=3:1得E是OB的中点

∴可得等腰三角形BOD是等边三角形,

在直角三角形OCD中,∠COD=60°,设圆的半径为R,

∴可得CD=OD=R,

∵CD是圆O的切线,∴由切割线定理得,

∴CD2=CB×CA,

即3R2=×(+2R)

∴R=

∴DE=OE=×=

(B):设变换 T:

则  =,(5分)

代入直线y=kx得y‘=kx',

将点P(4,1)代入,

得k=4.

(C):p2=apcosθ,圆ρ=acosθ的普通方程为:x2+y2=ax,(x-2+y2=(2

直线的普通方程为:x-y-=0,

又圆与直线相切,所以=a,解得:a=4±2

∵a>0,∴a=4+2

(D):(a+2)(b+2)(c+2)

=abc+2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)+8

≥1+2×3+4×3+8

=27,当且仅当a=b=c时等号成立.

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题型:填空题
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填空题

,则实数x的取值集合为______

正确答案

{x|x=+2kπ,k∈Z}

解析

解:∵

sinx-cosx=2,2sinx=

∴sinx=,cosx=-

∴x=+2kπ,k∈Z,

故答案为:{x|x=+2kπ,k∈Z}.

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题型:填空题
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填空题

若以为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解,则实数a的取值范围为______

正确答案

a≠±2

解析

解:因为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解,所以

∴a≠±2

故答案为:a≠±2

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题型:简答题
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简答题

已知直线l:ax+y=1在矩阵A=对应的变换作用下变为直线l′:x+by=1.

(1)求实数a,b的值;

(2)若点P(x0,y0)在直线l上,且A=,求点P的坐标.

正确答案

解:(1)设直线l上一点(x,y)在矩阵A对应的变换下得点(x‘,y'),

=

代入直线l',得2x+(b+3)y=1,

∴a=2,b=-2;…(5分)

(2)∵点P(x0,y0)在直线l上,∴2x0+y0=1,

=,得

,∴.…(10分)

解析

解:(1)设直线l上一点(x,y)在矩阵A对应的变换下得点(x‘,y'),

=

代入直线l',得2x+(b+3)y=1,

∴a=2,b=-2;…(5分)

(2)∵点P(x0,y0)在直线l上,∴2x0+y0=1,

=,得

,∴.…(10分)

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题型:简答题
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简答题

已知变换T1是绕原点逆时针旋转的旋转变换,对应的变换矩阵是M1;变换T2对应的变换矩阵是M2=

(Ⅰ)求变换T1对应的变换矩阵M1

(Ⅱ)求函数y=x2的图象依次在T1,T2变换的作用下所得曲线的方程.

正确答案

解:(Ⅰ)变换T1对应的变换矩阵M1==

(Ⅱ)M=M2M1=

是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是

=

可得

所以,所求曲线的方程是y-x=y2

解析

解:(Ⅰ)变换T1对应的变换矩阵M1==

(Ⅱ)M=M2M1=

是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是

=

可得

所以,所求曲线的方程是y-x=y2

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题型: 单选题
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单选题

)()结果是(  )

A

B

C

D

正确答案

A

解析

解:()()==

故选:A.

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题型:填空题
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填空题

(2015•牡丹江校级二模)矩阵的一种运算,该运算的几何意义为平面上的点(x,y)在矩阵的作用下变换成点(ax+by,cx+dy),若曲线x2+4xy+2y2=1在矩阵的作用下变换成曲线x2-2y2=1,则a+b的值为______

正确答案

2

解析

设(x,y)是曲线x2+4xy+2y2=1的点,在矩阵 的作用下的点为(x′,y′),

又x′2-2y′2=1,∴(x+ay)2-2(bx+y)2=1,(1-2b2)x2+(2a-4b)xy+(a2-2)y2=1.

∴a+b=2.

故答案为:2

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题型: 单选题
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单选题

已知=(,1),若将向量-2绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量,则的坐标为(  )

A(0,4)

B(2,-2)

C(-2,2)

D(2,-2

正确答案

B

解析

解:∵=(,1),

∴-2=(-2,-2),以x轴正半轴为始边,夹角为210°,

绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量,在第四象限,与x轴的正半轴夹角为30°,

=(2,-2),

故选:B.

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题型:填空题
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填空题

设矩阵M=,N=,若M=N,则实数x=______,y=______,z=______

正确答案

3

5

6

解析

解:根据矩阵相等的定义,对应位置元素相同,

则x=3,y=5,z=6

故答案为:3;5;6.

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题型:简答题
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简答题

已知矩阵M=,N=,矩阵MN对应的变换把曲线变为曲线C,求曲线C的方程.

正确答案

解:,(2分)

设p(x,y)是所求曲线C上的任意一点,

它是曲线y=sinx上点p0(x0,y0)在矩阵MN变换下的对应点,

(4分)

又点p0(x0,y0)在曲线上,故,从而

所求曲线C的方程为y=2sinx.(7分)

解析

解:,(2分)

设p(x,y)是所求曲线C上的任意一点,

它是曲线y=sinx上点p0(x0,y0)在矩阵MN变换下的对应点,

(4分)

又点p0(x0,y0)在曲线上,故,从而

所求曲线C的方程为y=2sinx.(7分)

百度题库 > 高考 > 数学 > 平面与圆锥面的截线

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