- 平面与圆锥面的截线
- 共736题
选做题
(A)选修4-1:几何证明选讲
如图,AB是半圆O的直径,延长AB到C,使,CD切半圆于点D,DE⊥AB,垂足为E,若AE:EB=3:1,求DE的长.
(B)选修4-2:矩阵与变换
在平面直角坐标系xOy中,直线y=kx在矩阵对应的变换下得到的直线经过点P(4,1),求实数k的值.
(C)选修4-4:坐标系与参数方程
在极坐标系中,已知圆ρ=asinθ(a>0)与直线相切,求实数a的值.
(D)选修4-5:不等式选讲
已知a,b,c满足abc=1,求证:(a+2)(b+2)(c+2)≥27.
正确答案
解:(A)连接OD,
∵DE⊥AB,垂足为E,且AE:EB=3:1得E是OB的中点
∴可得等腰三角形BOD是等边三角形,
在直角三角形OCD中,∠COD=60°,设圆的半径为R,
∴可得CD=OD=
R,
∵CD是圆O的切线,∴由切割线定理得,
∴CD2=CB×CA,
即3R2=×(
+2R)
∴R=,
∴DE=OE=
×
=
;
(B):设变换 T:→
,
则 =
,(5分)
即 代入直线y=kx得y‘=kx',
将点P(4,1)代入,
得k=4.
(C):p2=apcosθ,圆ρ=acosθ的普通方程为:x2+y2=ax,(x-)2+y2=(
)2,
直线的普通方程为:x-y-
=0,
又圆与直线相切,所以=a,解得:a=4±2
.
∵a>0,∴a=4+2.
(D):(a+2)(b+2)(c+2)
=abc+2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)+8
≥1+2×3+4×3
+8
=27,当且仅当a=b=c时等号成立.
解析
解:(A)连接OD,
∵DE⊥AB,垂足为E,且AE:EB=3:1得E是OB的中点
∴可得等腰三角形BOD是等边三角形,
在直角三角形OCD中,∠COD=60°,设圆的半径为R,
∴可得CD=OD=
R,
∵CD是圆O的切线,∴由切割线定理得,
∴CD2=CB×CA,
即3R2=×(
+2R)
∴R=,
∴DE=OE=
×
=
;
(B):设变换 T:→
,
则 =
,(5分)
即 代入直线y=kx得y‘=kx',
将点P(4,1)代入,
得k=4.
(C):p2=apcosθ,圆ρ=acosθ的普通方程为:x2+y2=ax,(x-)2+y2=(
)2,
直线的普通方程为:x-y-
=0,
又圆与直线相切,所以=a,解得:a=4±2
.
∵a>0,∴a=4+2.
(D):(a+2)(b+2)(c+2)
=abc+2(ab+bc+ca)+4(a+b+c)+8
≥1+2×3+4×3
+8
=27,当且仅当a=b=c时等号成立.
若,则实数x的取值集合为______.
正确答案
{x|x=+2kπ,k∈Z}
解析
解:∵,
∴sinx-cosx=2,2sinx=
,
∴sinx=,cosx=-
,
∴x=+2kπ,k∈Z,
故答案为:{x|x=+2kπ,k∈Z}.
若以为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解,则实数a的取值范围为______.
正确答案
a≠±2
解析
解:因为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解,所以
∴a≠±2
故答案为:a≠±2
已知直线l:ax+y=1在矩阵A=对应的变换作用下变为直线l′:x+by=1.
(1)求实数a,b的值;
(2)若点P(x0,y0)在直线l上,且A=
,求点P的坐标.
正确答案
解:(1)设直线l上一点(x,y)在矩阵A对应的变换下得点(x‘,y'),
则=
,
∴代入直线l',得2x+(b+3)y=1,
∴a=2,b=-2;…(5分)
(2)∵点P(x0,y0)在直线l上,∴2x0+y0=1,
由=
,得
,
∴,∴
.…(10分)
解析
解:(1)设直线l上一点(x,y)在矩阵A对应的变换下得点(x‘,y'),
则=
,
∴代入直线l',得2x+(b+3)y=1,
∴a=2,b=-2;…(5分)
(2)∵点P(x0,y0)在直线l上,∴2x0+y0=1,
由=
,得
,
∴,∴
.…(10分)
已知变换T1是绕原点逆时针旋转的旋转变换,对应的变换矩阵是M1;变换T2对应的变换矩阵是M2=
.
(Ⅰ)求变换T1对应的变换矩阵M1;
(Ⅱ)求函数y=x2的图象依次在T1,T2变换的作用下所得曲线的方程.
正确答案
解:(Ⅰ)变换T1对应的变换矩阵M1==
;
(Ⅱ)M=M2M1=,
设是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是
,
则=
可得,
所以,所求曲线的方程是y-x=y2.
解析
解:(Ⅰ)变换T1对应的变换矩阵M1==
;
(Ⅱ)M=M2M1=,
设是变换后图象上任一点,与之对应的变换前的点是
,
则=
可得,
所以,所求曲线的方程是y-x=y2.
()(
)结果是( )
正确答案
解析
解:()(
)=
=
.
故选:A.
(2015•牡丹江校级二模)矩阵的一种运算,该运算的几何意义为平面上的点(x,y)在矩阵
的作用下变换成点(ax+by,cx+dy),若曲线x2+4xy+2y2=1在矩阵
的作用下变换成曲线x2-2y2=1,则a+b的值为______.
正确答案
2
解析
设(x,y)是曲线x2+4xy+2y2=1的点,在矩阵 的作用下的点为(x′,y′),
即 又x′2-2y′2=1,∴(x+ay)2-2(bx+y)2=1,(1-2b2)x2+(2a-4b)xy+(a2-2)y2=1.
故 ∴a+b=2.
故答案为:2
已知=(
,1),若将向量-2
绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量
,则
的坐标为( )
正确答案
解析
解:∵=(
,1),
∴-2=(-2
,-2),以x轴正半轴为始边,夹角为210°,
绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量,在第四象限,与x轴的正半轴夹角为30°,
∴=(2
,-2),
故选:B.
设矩阵M=,N=
,若M=N,则实数x=______,y=______,z=______.
正确答案
3
5
6
解析
解:根据矩阵相等的定义,对应位置元素相同,
则x=3,y=5,z=6
故答案为:3;5;6.
已知矩阵M=,N=
,矩阵MN对应的变换把曲线
变为曲线C,求曲线C的方程.
正确答案
解:,(2分)
设p(x,y)是所求曲线C上的任意一点,
它是曲线y=sinx上点p0(x0,y0)在矩阵MN变换下的对应点,
则,
所
(4分)
又点p0(x0,y0)在曲线上,故
,从而
,
所求曲线C的方程为y=2sinx.(7分)
解析
解:,(2分)
设p(x,y)是所求曲线C上的任意一点,
它是曲线y=sinx上点p0(x0,y0)在矩阵MN变换下的对应点,
则,
所
(4分)
又点p0(x0,y0)在曲线上,故
,从而
,
所求曲线C的方程为y=2sinx.(7分)
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