平面与圆锥面的截线_章节学习

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题型：简答题

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简答题

选做题

（A）选修4-1：几何证明选讲

如图，AB是半圆O的直径，延长AB到C，使，CD切半圆于点D，DE⊥AB，垂足为E，若AE：EB=3：1，求DE的长．

（B）选修4-2：矩阵与变换

在平面直角坐标系xOy中，直线y=kx在矩阵对应的变换下得到的直线经过点P（4，1），求实数k的值．

（C）选修4-4：坐标系与参数方程

在极坐标系中，已知圆ρ=asinθ（a＞0）与直线相切，求实数a的值．

（D）选修4-5：不等式选讲

已知a，b，c满足abc=1，求证：（a+2）（b+2）（c+2）≥27．

正确答案

解：（A）连接OD，

∵DE⊥AB，垂足为E，且AE：EB=3：1得E是OB的中点

∴可得等腰三角形BOD是等边三角形，

在直角三角形OCD中，∠COD=60°，设圆的半径为R，

∴可得CD=OD=R，

∵CD是圆O的切线，∴由切割线定理得，

∴CD2=CB×CA，

即3R2=×（+2R）

∴R=，

∴DE=OE=×=；

（B）：设变换 T：→，

则 =，（5分）

即代入直线y=kx得y‘=kx'，

将点P（4，1）代入，

得k=4．

（C）：p2=apcosθ，圆ρ=acosθ的普通方程为：x2+y2=ax，（x-）2+y2=（）2，

直线的普通方程为：x-y-=0，

又圆与直线相切，所以=a，解得：a=4±2．

∵a＞0，∴a=4+2．

（D）：（a+2）（b+2）（c+2）

=abc+2（ab+bc+ca）+4（a+b+c）+8

≥1+2×3+4×3+8

=27，当且仅当a=b=c时等号成立．

解析

解：（A）连接OD，

∵DE⊥AB，垂足为E，且AE：EB=3：1得E是OB的中点

∴可得等腰三角形BOD是等边三角形，

在直角三角形OCD中，∠COD=60°，设圆的半径为R，

∴可得CD=OD=R，

∵CD是圆O的切线，∴由切割线定理得，

∴CD2=CB×CA，

即3R2=×（+2R）

∴R=，

∴DE=OE=×=；

（B）：设变换 T：→，

则 =，（5分）

即代入直线y=kx得y‘=kx'，

将点P（4，1）代入，

得k=4．

（C）：p2=apcosθ，圆ρ=acosθ的普通方程为：x2+y2=ax，（x-）2+y2=（）2，

直线的普通方程为：x-y-=0，

又圆与直线相切，所以=a，解得：a=4±2．

∵a＞0，∴a=4+2．

（D）：（a+2）（b+2）（c+2）

=abc+2（ab+bc+ca）+4（a+b+c）+8

≥1+2×3+4×3+8

=27，当且仅当a=b=c时等号成立．

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题型：填空题

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填空题

若，则实数x的取值集合为______．

正确答案

{x|x=+2kπ，k∈Z}

解析

解：∵，

∴sinx-cosx=2，2sinx=，

∴sinx=，cosx=-，

∴x=+2kπ，k∈Z，

故答案为：{x|x=+2kπ，k∈Z}．

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题型：填空题

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填空题

若以为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，则实数a的取值范围为______．

正确答案

a≠±2

解析

解：因为增广矩阵的线性方程组有唯一一组解，所以

∴a≠±2

故答案为：a≠±2

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题型：简答题

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简答题

已知直线l：ax+y=1在矩阵A=对应的变换作用下变为直线l′：x+by=1．

（1）求实数a，b的值；

（2）若点P（x0，y0）在直线l上，且A=，求点P的坐标．

正确答案

解：（1）设直线l上一点（x，y）在矩阵A对应的变换下得点（x‘，y'），

则=，

∴代入直线l'，得2x+（b+3）y=1，

∴a=2，b=-2；…（5分）

（2）∵点P（x0，y0）在直线l上，∴2x0+y0=1，

由=，得，

∴，∴．…（10分）

解析

解：（1）设直线l上一点（x，y）在矩阵A对应的变换下得点（x‘，y'），

则=，

∴代入直线l'，得2x+（b+3）y=1，

∴a=2，b=-2；…（5分）

（2）∵点P（x0，y0）在直线l上，∴2x0+y0=1，

由=，得，

∴，∴．…（10分）

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题型：简答题

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简答题

已知变换T1是绕原点逆时针旋转的旋转变换，对应的变换矩阵是M1；变换T2对应的变换矩阵是M2=．

（Ⅰ）求变换T1对应的变换矩阵M1；

（Ⅱ）求函数y=x2的图象依次在T1，T2变换的作用下所得曲线的方程．

正确答案

解：（Ⅰ）变换T1对应的变换矩阵M1==；

（Ⅱ）M=M2M1=，

设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是，

则=

可得，

所以，所求曲线的方程是y-x=y2．

解析

解：（Ⅰ）变换T1对应的变换矩阵M1==；

（Ⅱ）M=M2M1=，

设是变换后图象上任一点，与之对应的变换前的点是，

则=

可得，

所以，所求曲线的方程是y-x=y2．

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题型：单选题

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单选题

（）（）结果是（　　）

A（）

B（）

C（）

D（）

正确答案

A

解析

解：（）（）==．

故选：A．

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题型：填空题

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填空题

（2015•牡丹江校级二模）矩阵的一种运算，该运算的几何意义为平面上的点（x，y）在矩阵的作用下变换成点（ax+by，cx+dy），若曲线x2+4xy+2y2=1在矩阵的作用下变换成曲线x2-2y2=1，则a+b的值为______．

正确答案

2

解析

设（x，y）是曲线x2+4xy+2y2=1的点，在矩阵的作用下的点为（x′，y′），

即又x′2-2y′2=1，∴（x+ay）2-2（bx+y）2=1，（1-2b2）x2+（2a-4b）xy+（a2-2）y2=1．

故 ∴a+b=2．

故答案为：2

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题型：单选题

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单选题

已知=（，1），若将向量-2绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量，则的坐标为（　　）

A（0，4）

B（2，-2）

C（-2，2）

D（2，-2）

正确答案

B

解析

解：∵=（，1），

∴-2=（-2，-2），以x轴正半轴为始边，夹角为210°，

绕坐标原点逆时针旋转120°得到向量，在第四象限，与x轴的正半轴夹角为30°，

∴=（2，-2），

故选：B．

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题型：填空题

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填空题

设矩阵M=，N=，若M=N，则实数x=______，y=______，z=______．

正确答案

3

5

6

解析

解：根据矩阵相等的定义，对应位置元素相同，

则x=3，y=5，z=6

故答案为：3；5；6．

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题型：简答题

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简答题

已知矩阵M=，N=，矩阵MN对应的变换把曲线变为曲线C，求曲线C的方程．

正确答案

解：，（2分）

设p（x，y）是所求曲线C上的任意一点，

它是曲线y=sinx上点p0（x0，y0）在矩阵MN变换下的对应点，

则，所（4分）

又点p0（x0，y0）在曲线上，故，从而，

所求曲线C的方程为y=2sinx．（7分）

解析

解：，（2分）

设p（x，y）是所求曲线C上的任意一点，

它是曲线y=sinx上点p0（x0，y0）在矩阵MN变换下的对应点，

则，所（4分）

又点p0（x0，y0）在曲线上，故，从而，

所求曲线C的方程为y=2sinx．（7分）

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