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题型:简答题
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简答题

已知矩阵:A=,B=,则AB的几何意义是?

正确答案

解:AB的几何意义是在矩阵A的作用下将B(1,2)变换成点(2,1).

解析

解:AB的几何意义是在矩阵A的作用下将B(1,2)变换成点(2,1).

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题型:简答题
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简答题

已知二阶矩阵M满足:M=

(Ⅰ)求矩阵M2;       

(Ⅱ)求M2014

正确答案

解:(Ⅰ)记矩阵A=,故|A|=-1,故A-1=

由已知得M==

∴M2==

(Ⅱ)M2014=M2=

解析

解:(Ⅰ)记矩阵A=,故|A|=-1,故A-1=

由已知得M==

∴M2==

(Ⅱ)M2014=M2=

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题型:填空题
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填空题

若A=,且AB=,则B=______

正确答案

解析

解:∵A=,且AB=

∴B═-1=

故答案为:

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题型:简答题
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简答题

(选修4-2:矩阵与变换)

已知A(0,0),B(2,0),C(2,2)在矩阵对应变换的作用下,得到的对应点分别为A‘(0,0),,C'(0,2),求矩阵M.

正确答案

解:根据题意,则有=

所以

又有=

所以

所以M=

解析

解:根据题意,则有=

所以

又有=

所以

所以M=

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题型:简答题
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简答题

本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.

(1)选修4-2:矩阵与变换

已知矩阵

(Ⅰ)求矩阵NN;

(Ⅱ)若点P(0,1)在矩阵M对应的线性变换下得到点P′,求P′的坐标.

(2)选修4-4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ(Ⅰ)在直角坐标系xOy中,求圆C的直角坐标方程

(Ⅱ)求圆心C到直线l的距离.

(3)选修4-5:不等式选讲

已知函数f(x)=|x-1|

(Ⅰ)解不等式f(x)>2;

(Ⅱ)求函数y=f(-x)+f(x+5)的最小值.

正确答案

(1)解:(Ⅰ)

(Ⅱ)设P′=(x,y),则

所以,x=1,y=0,∴P′=(1,0)

(2)解:(Ⅰ)∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x,∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x;

(Ⅱ)圆心C(1,0),直线l的普通方程为2x-y+1=0…(5分)∴圆心C到直线l的距离为d=.…(7分)

(3)解:(Ⅰ)∵|x-1|>2

∴x-1>2或x-1<-2

∴x>3或x<-1

∴原不等式的解集为{x|x>3或x<-1}

(Ⅱ)函数y=f(-x)+f(x+5)=|-x-1|+|x+4|≥|-x-1+x+4|=3

∴函数y=f(-x)+f(x+5)的最小值为3

解析

(1)解:(Ⅰ)

(Ⅱ)设P′=(x,y),则

所以,x=1,y=0,∴P′=(1,0)

(2)解:(Ⅰ)∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x,∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x;

(Ⅱ)圆心C(1,0),直线l的普通方程为2x-y+1=0…(5分)∴圆心C到直线l的距离为d=.…(7分)

(3)解:(Ⅰ)∵|x-1|>2

∴x-1>2或x-1<-2

∴x>3或x<-1

∴原不等式的解集为{x|x>3或x<-1}

(Ⅱ)函数y=f(-x)+f(x+5)=|-x-1|+|x+4|≥|-x-1+x+4|=3

∴函数y=f(-x)+f(x+5)的最小值为3

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题型:简答题
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简答题

已知矩阵A=[f(x)],B=[x 1-x],,若A=BC,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.

正确答案

解:因为BC=[x 1-x]=[x2+2a(1-x)],A=[f(x)]

又因为A=BC,f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2,∵x∈[1,2].

当x≥2时,函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(2)=4-2a.

当1≤x<2时,函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(a)=2a-a2

当x<1时,函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=1.

解析

解:因为BC=[x 1-x]=[x2+2a(1-x)],A=[f(x)]

又因为A=BC,f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2,∵x∈[1,2].

当x≥2时,函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(2)=4-2a.

当1≤x<2时,函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(a)=2a-a2

当x<1时,函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=1.

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题型:简答题
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简答题

已知矩阵M=,其中a∈R,若点P(1,7)在矩阵M的变换下得到点P‘(15,9).

(1)求实数a的值;

(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量α.

正确答案

解:(1)由=,∴1+7a=15⇒a=2.(4分)

(2)由(1)知M=,则矩阵M的特征多项式为=(λ-1)(λ-1)-4=λ2-2λ-3,

令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为-1与3.(6分)

当λ=-1时,⇒x+y=0,

∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为;(8分)

当λ=3时,⇒x=y,

∴矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为.(10分)

解析

解:(1)由=,∴1+7a=15⇒a=2.(4分)

(2)由(1)知M=,则矩阵M的特征多项式为=(λ-1)(λ-1)-4=λ2-2λ-3,

令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为-1与3.(6分)

当λ=-1时,⇒x+y=0,

∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为;(8分)

当λ=3时,⇒x=y,

∴矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为.(10分)

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题型:简答题
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简答题

选做题:(本小题共3小题,请从这3题中选做2小题,如果3题都做,则按所做的前两题记分,每小题7分.)

(1)(矩阵与变换)在直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标为A(0,0)、B(1,1)、C(0,2),矩阵M=,N=,求△ABC在矩阵MN作用下变换所得的图形的面积;

(2)(坐标系与参数方程)极坐标系下,求直线与圆的公共点个数;

(3)(不等式)已知x+2y=1,求x2+y2的最小值.

正确答案

解:(1)∵MN=

=

∴在矩阵MN的作用下,一个图形变换为与之关于x轴对称的图形,

因此△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等,从而其面积等于△ABC的面积,即为1.

(2)的普通方程为的普通方程为x2+y2=2

则圆心到直线的距离为,所以直线和圆相交,故有两个交点.

(3)∵

,当且仅当:,即y=2x时取等号,

∴x+4x=5x=1

时,x2+y2的最小值为

解析

解:(1)∵MN=

=

∴在矩阵MN的作用下,一个图形变换为与之关于x轴对称的图形,

因此△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等,从而其面积等于△ABC的面积,即为1.

(2)的普通方程为的普通方程为x2+y2=2

则圆心到直线的距离为,所以直线和圆相交,故有两个交点.

(3)∵

,当且仅当:,即y=2x时取等号,

∴x+4x=5x=1

时,x2+y2的最小值为

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题型:简答题
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简答题

已知矩阵A=,B=

(1)求满足条件AM=B的矩阵M;

(2)矩阵M对应的变换将曲线C:x2+y2=1变换为曲线C′,求曲线C′的方程.

正确答案

解:(1)设M=

AM===

得a=0,b=2,c=3,d=0.

∴M=

(2)设曲线C上任意一点P(x,y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P′(x′,y′),

则M===

∴2y=x′,3x=y′

即y=,x=

代入曲线C:x2+y2=1,得(2+(2=1.

∴曲线C′的方程是+=1.

解析

解:(1)设M=

AM===

得a=0,b=2,c=3,d=0.

∴M=

(2)设曲线C上任意一点P(x,y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P′(x′,y′),

则M===

∴2y=x′,3x=y′

即y=,x=

代入曲线C:x2+y2=1,得(2+(2=1.

∴曲线C′的方程是+=1.

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题型:简答题
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简答题

本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.

(1)已知矩阵M=,且

(Ⅰ)求实数a,b,c,d的值;(Ⅱ)求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程.

(2)在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为

(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A、B,若点P的坐标为

求|PA|+|PB|.

(3)已知函数f(x)=|x-a|.

(Ⅰ)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;

(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求≤

正确答案

(1)选修1:解:(Ⅰ)由题设得,解得

(Ⅱ)因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线y=3x上的两(0,0),(1,3),

得点(0,0),(1,3)在矩阵M所对应的变换下的线的像是(0,0),(-2,2),

从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=-x.

(2)选修2:解:(Ⅰ)由ρ=2sinθ得x2+y2-2y=0,即=5.

(Ⅱ)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得=5,

即t2-3t+4=0,

由于-4×4=2>0,

故可设t1,t2是上述方程的两实根,

所以

又直线l过点P(3,),

故由上式及t的几何意义得:

|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3

(3)选修3:解:(Ⅰ)由f(x)≤3得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3,

又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},

所以,解得a=2.

(Ⅱ)当a=2时,f(x)=|x-2|,

设g(x)=f(x)+f(x+5),

于是g(x)=|x-2|+|x+3|=

所以,当x<-3时,g(x)>5;

当-3≤x≤2时,g(x)=5;

当x>2时,g(x)>5.

实数m的取值范围是m≤5.

解析

(1)选修1:解:(Ⅰ)由题设得,解得

(Ⅱ)因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线y=3x上的两(0,0),(1,3),

得点(0,0),(1,3)在矩阵M所对应的变换下的线的像是(0,0),(-2,2),

从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=-x.

(2)选修2:解:(Ⅰ)由ρ=2sinθ得x2+y2-2y=0,即=5.

(Ⅱ)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得=5,

即t2-3t+4=0,

由于-4×4=2>0,

故可设t1,t2是上述方程的两实根,

所以

又直线l过点P(3,),

故由上式及t的几何意义得:

|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3

(3)选修3:解:(Ⅰ)由f(x)≤3得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3,

又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},

所以,解得a=2.

(Ⅱ)当a=2时,f(x)=|x-2|,

设g(x)=f(x)+f(x+5),

于是g(x)=|x-2|+|x+3|=

所以,当x<-3时,g(x)>5;

当-3≤x≤2时,g(x)=5;

当x>2时,g(x)>5.

实数m的取值范围是m≤5.

百度题库 > 高考 > 数学 > 平面与圆锥面的截线

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