- 平面与圆锥面的截线
- 共736题
已知矩阵：A=
正确答案
解：AB的几何意义是在矩阵A的作用下将B（1，2）变换成点（2，1）．
解析
解：AB的几何意义是在矩阵A的作用下将B（1，2）变换成点（2，1）．
已知二阶矩阵M满足：M
（Ⅰ）求矩阵M2；
（Ⅱ）求M2014
正确答案
解：（Ⅰ）记矩阵A=
由已知得M=
∴M2=
（Ⅱ）M2014
解析
解：（Ⅰ）记矩阵A=
由已知得M=
∴M2=
（Ⅱ）M2014
若A=
正确答案
解析
解：∵A=
∴B═
故答案为：
（选修4-2：矩阵与变换）
已知A（0，0），B（2，0），C（2，2）在矩阵
正确答案
解：根据题意，则有
所以
∴
又有
所以
∴
所以M=
解析
解：根据题意，则有
所以
∴
又有
所以
∴
所以M=
本题有（1）、（2）、（3）三个选答题，每小题7分，请考生任选2题作答，满分14分，如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）选修4-2：矩阵与变换
已知矩阵
（Ⅰ）求矩阵NN；
（Ⅱ）若点P（0，1）在矩阵M对应的线性变换下得到点P′，求P′的坐标．
（2）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是
（Ⅱ）求圆心C到直线l的距离．
（3）选修4-5：不等式选讲
已知函数f（x）=|x-1|
（Ⅰ）解不等式f（x）＞2；
（Ⅱ）求函数y=f（-x）+f（x+5）的最小值．
正确答案
（1）解：（Ⅰ）
（Ⅱ）设P′=（x，y），则
所以，x=1，y=0，∴P′=（1，0）
（2）解：（Ⅰ）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x；
（Ⅱ）圆心C（1，0），直线l的普通方程为2x-y+1=0…（5分）∴圆心C到直线l的距离为d=
（3）解：（Ⅰ）∵|x-1|＞2
∴x-1＞2或x-1＜-2
∴x＞3或x＜-1
∴原不等式的解集为{x|x＞3或x＜-1}
（Ⅱ）函数y=f（-x）+f（x+5）=|-x-1|+|x+4|≥|-x-1+x+4|=3
∴函数y=f（-x）+f（x+5）的最小值为3
解析
（1）解：（Ⅰ）
（Ⅱ）设P′=（x，y），则
所以，x=1，y=0，∴P′=（1，0）
（2）解：（Ⅰ）∵ρ=2cosθ，∴ρ2=2ρcosθ，∴x2+y2=2x，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x；
（Ⅱ）圆心C（1，0），直线l的普通方程为2x-y+1=0…（5分）∴圆心C到直线l的距离为d=
（3）解：（Ⅰ）∵|x-1|＞2
∴x-1＞2或x-1＜-2
∴x＞3或x＜-1
∴原不等式的解集为{x|x＞3或x＜-1}
（Ⅱ）函数y=f（-x）+f（x+5）=|-x-1|+|x+4|≥|-x-1+x+4|=3
∴函数y=f（-x）+f（x+5）的最小值为3
已知矩阵A=[f（x）]，B=[x 1-x]，
正确答案
解：因为BC=[x 1-x]
又因为A=BC，f（x）=x2-2ax+2a=（x-a）2+2a-a2，∵x∈[1，2]．
当x≥2时，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=4-2a．
当1≤x＜2时，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（a）=2a-a2．
当x＜1时，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1．
∴
解析
解：因为BC=[x 1-x]
又因为A=BC，f（x）=x2-2ax+2a=（x-a）2+2a-a2，∵x∈[1，2]．
当x≥2时，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（2）=4-2a．
当1≤x＜2时，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（a）=2a-a2．
当x＜1时，函数f（x）在[1，2]上的最小值为f（1）=1．
∴
已知矩阵M=
（1）求实数a的值；
（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量α．
正确答案
解：（1）由
（2）由（1）知M=
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为-1与3．（6分）
当λ=-1时，
∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为
当λ=3时，
∴矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为
解析
解：（1）由
（2）由（1）知M=
令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为-1与3．（6分）
当λ=-1时，
∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为
当λ=3时，
∴矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为
选做题：（本小题共3小题，请从这3题中选做2小题，如果3题都做，则按所做的前两题记分，每小题7分．）
（1）（矩阵与变换）在直角坐标系中，已知△ABC的顶点坐标为A（0，0）、B（1，1）、C（0，2），矩阵M=
（2）（坐标系与参数方程）极坐标系下，求直线
（3）（不等式）已知x+2y=1，求x2+y2的最小值．
正确答案
解：（1）∵MN=
∴
∴在矩阵MN的作用下，一个图形变换为与之关于x轴对称的图形，
因此△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等，从而其面积等于△ABC的面积，即为1．
（2）
则圆心到直线的距离为
（3）∵
∴
∴
∴x+4x=5x=1
∴
解析
解：（1）∵MN=
∴
∴在矩阵MN的作用下，一个图形变换为与之关于x轴对称的图形，
因此△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等，从而其面积等于△ABC的面积，即为1．
（2）
则圆心到直线的距离为
（3）∵
∴
∴
∴x+4x=5x=1
∴
已知矩阵A=
（1）求满足条件AM=B的矩阵M；
（2）矩阵M对应的变换将曲线C：x2+y2=1变换为曲线C′，求曲线C′的方程．
正确答案
解：（1）设M=
AM=
得a=0，b=2，c=3，d=0．
∴M=
（2）设曲线C上任意一点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下变为点P′（x′，y′），
则M
∴2y=x′，3x=y′
即y=
代入曲线C：x2+y2=1，得（
∴曲线C′的方程是
解析
解：（1）设M=
AM=
得a=0，b=2，c=3，d=0．
∴M=
（2）设曲线C上任意一点P（x，y）在矩阵M对应的变换作用下变为点P′（x′，y′），
则M
∴2y=x′，3x=y′
即y=
代入曲线C：x2+y2=1，得（
∴曲线C′的方程是
本题设有（1）（2）（3）三个选考题，每题7分，请考生任选2题作答，满分14分．如果多做，则按所做的前两题计分．作答时，先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑，并将所选题号填入括号中．
（1）已知矩阵M=
（Ⅰ）求实数a，b，c，d的值；（Ⅱ）求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程．
（2）在直角坐标系xoy中，直线l的参数方程为
（Ⅰ）求圆C的直角坐标方程；（Ⅱ）设圆C与直线l交于点A、B，若点P的坐标为
求|PA|+|PB|．
（3）已知函数f（x）=|x-a|．
（Ⅰ）若不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，求实数a的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若f（x）+f（x+5）≥m对一切实数x恒成立，求≤
正确答案
（1）选修1：解：（Ⅰ）由题设得
（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两（0，0），（1，3），
由
得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的变换下的线的像是（0，0），（-2，2），
从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=-x．
（2）选修2：解：（Ⅰ）由ρ=2
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得
即t2-3
由于
故可设t1，t2是上述方程的两实根，
所以
又直线l过点P（3，
故由上式及t的几何意义得：
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3
（3）选修3：解：（Ⅰ）由f（x）≤3得|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3，
又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，
所以
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x-2|，
设g（x）=f（x）+f（x+5），
于是g（x）=|x-2|+|x+3|=
所以，当x＜-3时，g（x）＞5；
当-3≤x≤2时，g（x）=5；
当x＞2时，g（x）＞5．
实数m的取值范围是m≤5．
解析
（1）选修1：解：（Ⅰ）由题设得
（Ⅱ）因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线（或点），所以可取直线y=3x上的两（0，0），（1，3），
由
得点（0，0），（1，3）在矩阵M所对应的变换下的线的像是（0，0），（-2，2），
从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=-x．
（2）选修2：解：（Ⅰ）由ρ=2
（Ⅱ）将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程，得
即t2-3
由于
故可设t1，t2是上述方程的两实根，
所以
又直线l过点P（3，
故由上式及t的几何意义得：
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3
（3）选修3：解：（Ⅰ）由f（x）≤3得|x-a|≤3，解得a-3≤x≤a+3，
又已知不等式f（x）≤3的解集为{x|-1≤x≤5}，
所以
（Ⅱ）当a=2时，f（x）=|x-2|，
设g（x）=f（x）+f（x+5），
于是g（x）=|x-2|+|x+3|=
所以，当x＜-3时，g（x）＞5；
当-3≤x≤2时，g（x）=5；
当x＞2时，g（x）＞5．
实数m的取值范围是m≤5．
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