- 平面与圆锥面的截线
- 共736题
已知矩阵:A=,B=
,则AB的几何意义是?
正确答案
解:AB的几何意义是在矩阵A的作用下将B(1,2)变换成点(2,1).
解析
解:AB的几何意义是在矩阵A的作用下将B(1,2)变换成点(2,1).
已知二阶矩阵M满足:M=
.
(Ⅰ)求矩阵M2;
(Ⅱ)求M2014.
正确答案
解:(Ⅰ)记矩阵A=,故|A|=-1,故A-1=
.
由已知得M==
,
∴M2==
;
(Ⅱ)M2014=M2
=
.
解析
解:(Ⅰ)记矩阵A=,故|A|=-1,故A-1=
.
由已知得M==
,
∴M2==
;
(Ⅱ)M2014=M2
=
.
若A=,且AB=
,则B=______.
正确答案
解析
解:∵A=,且AB=
,
∴B═-1
=
.
故答案为:.
(选修4-2:矩阵与变换)
已知A(0,0),B(2,0),C(2,2)在矩阵对应变换的作用下,得到的对应点分别为A‘(0,0),
,C'(0,2),求矩阵M.
正确答案
解:根据题意,则有=
,
所以,
∴
又有=
,
所以,
∴
所以M=.
解析
解:根据题意,则有=
,
所以,
∴
又有=
,
所以,
∴
所以M=.
本题有(1)、(2)、(3)三个选答题,每小题7分,请考生任选2题作答,满分14分,如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.
(1)选修4-2:矩阵与变换
已知矩阵
(Ⅰ)求矩阵NN;
(Ⅱ)若点P(0,1)在矩阵M对应的线性变换下得到点P′,求P′的坐标.
(2)选修4-4:坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中,直线l的参数方程是(t为参数),在极坐标系(与直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ(Ⅰ)在直角坐标系xOy中,求圆C的直角坐标方程
(Ⅱ)求圆心C到直线l的距离.
(3)选修4-5:不等式选讲
已知函数f(x)=|x-1|
(Ⅰ)解不等式f(x)>2;
(Ⅱ)求函数y=f(-x)+f(x+5)的最小值.
正确答案
(1)解:(Ⅰ)
(Ⅱ)设P′=(x,y),则
所以,x=1,y=0,∴P′=(1,0)
(2)解:(Ⅰ)∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x,∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x;
(Ⅱ)圆心C(1,0),直线l的普通方程为2x-y+1=0…(5分)∴圆心C到直线l的距离为d=.…(7分)
(3)解:(Ⅰ)∵|x-1|>2
∴x-1>2或x-1<-2
∴x>3或x<-1
∴原不等式的解集为{x|x>3或x<-1}
(Ⅱ)函数y=f(-x)+f(x+5)=|-x-1|+|x+4|≥|-x-1+x+4|=3
∴函数y=f(-x)+f(x+5)的最小值为3
解析
(1)解:(Ⅰ)
(Ⅱ)设P′=(x,y),则
所以,x=1,y=0,∴P′=(1,0)
(2)解:(Ⅰ)∵ρ=2cosθ,∴ρ2=2ρcosθ,∴x2+y2=2x,∴圆C的直角坐标方程为x2+y2=2x;
(Ⅱ)圆心C(1,0),直线l的普通方程为2x-y+1=0…(5分)∴圆心C到直线l的距离为d=.…(7分)
(3)解:(Ⅰ)∵|x-1|>2
∴x-1>2或x-1<-2
∴x>3或x<-1
∴原不等式的解集为{x|x>3或x<-1}
(Ⅱ)函数y=f(-x)+f(x+5)=|-x-1|+|x+4|≥|-x-1+x+4|=3
∴函数y=f(-x)+f(x+5)的最小值为3
已知矩阵A=[f(x)],B=[x 1-x],,若A=BC,求函数f(x)在[1,2]上的最小值.
正确答案
解:因为BC=[x 1-x]=[x2+2a(1-x)],A=[f(x)]
又因为A=BC,f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2,∵x∈[1,2].
当x≥2时,函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(2)=4-2a.
当1≤x<2时,函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(a)=2a-a2.
当x<1时,函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=1.
∴.
解析
解:因为BC=[x 1-x]=[x2+2a(1-x)],A=[f(x)]
又因为A=BC,f(x)=x2-2ax+2a=(x-a)2+2a-a2,∵x∈[1,2].
当x≥2时,函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(2)=4-2a.
当1≤x<2时,函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(a)=2a-a2.
当x<1时,函数f(x)在[1,2]上的最小值为f(1)=1.
∴.
已知矩阵M=,其中a∈R,若点P(1,7)在矩阵M的变换下得到点P‘(15,9).
(1)求实数a的值;
(2)求矩阵M的特征值及其对应的特征向量α.
正确答案
解:(1)由=
,∴1+7a=15⇒a=2.(4分)
(2)由(1)知M=,则矩阵M的特征多项式为
=(λ-1)(λ-1)-4=λ2-2λ-3,
令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为-1与3.(6分)
当λ=-1时,⇒x+y=0,
∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为;(8分)
当λ=3时,⇒x=y,
∴矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为.(10分)
解析
解:(1)由=
,∴1+7a=15⇒a=2.(4分)
(2)由(1)知M=,则矩阵M的特征多项式为
=(λ-1)(λ-1)-4=λ2-2λ-3,
令f(λ)=0,得矩阵M的特征值为-1与3.(6分)
当λ=-1时,⇒x+y=0,
∴矩阵M的属于特征值-1的一个特征向量为;(8分)
当λ=3时,⇒x=y,
∴矩阵M的属于特征值3的一个特征向量为.(10分)
选做题:(本小题共3小题,请从这3题中选做2小题,如果3题都做,则按所做的前两题记分,每小题7分.)
(1)(矩阵与变换)在直角坐标系中,已知△ABC的顶点坐标为A(0,0)、B(1,1)、C(0,2),矩阵M=,N=
,求△ABC在矩阵MN作用下变换所得的图形的面积;
(2)(坐标系与参数方程)极坐标系下,求直线与圆
的公共点个数;
(3)(不等式)已知x+2y=1,求x2+y2的最小值.
正确答案
解:(1)∵MN=
∴=
∴在矩阵MN的作用下,一个图形变换为与之关于x轴对称的图形,
因此△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等,从而其面积等于△ABC的面积,即为1.
(2)的普通方程为
,
的普通方程为x2+y2=2
则圆心到直线的距离为,所以直线和圆相交,故有两个交点.
(3)∵
∴
∴,当且仅当:
,即y=2x时取等号,
∴x+4x=5x=1
∴时,x2+y2的最小值为
.
解析
解:(1)∵MN=
∴=
∴在矩阵MN的作用下,一个图形变换为与之关于x轴对称的图形,
因此△ABC在矩阵MN作用下变换所得到的图形与△ABC全等,从而其面积等于△ABC的面积,即为1.
(2)的普通方程为
,
的普通方程为x2+y2=2
则圆心到直线的距离为,所以直线和圆相交,故有两个交点.
(3)∵
∴
∴,当且仅当:
,即y=2x时取等号,
∴x+4x=5x=1
∴时,x2+y2的最小值为
.
已知矩阵A=,B=
.
(1)求满足条件AM=B的矩阵M;
(2)矩阵M对应的变换将曲线C:x2+y2=1变换为曲线C′,求曲线C′的方程.
正确答案
解:(1)设M=,
AM==
=
,
得a=0,b=2,c=3,d=0.
∴M=.
(2)设曲线C上任意一点P(x,y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P′(x′,y′),
则M=
=
=
,
∴2y=x′,3x=y′
即y=,x=
代入曲线C:x2+y2=1,得()2+(
)2=1.
∴曲线C′的方程是+
=1.
解析
解:(1)设M=,
AM==
=
,
得a=0,b=2,c=3,d=0.
∴M=.
(2)设曲线C上任意一点P(x,y)在矩阵M对应的变换作用下变为点P′(x′,y′),
则M=
=
=
,
∴2y=x′,3x=y′
即y=,x=
代入曲线C:x2+y2=1,得()2+(
)2=1.
∴曲线C′的方程是+
=1.
本题设有(1)(2)(3)三个选考题,每题7分,请考生任选2题作答,满分14分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑,并将所选题号填入括号中.
(1)已知矩阵M=,
,且
,
(Ⅰ)求实数a,b,c,d的值;(Ⅱ)求直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程.
(2)在直角坐标系xoy中,直线l的参数方程为(t为参数).在极坐标系(与直角坐标系xoy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为
.
(Ⅰ)求圆C的直角坐标方程;(Ⅱ)设圆C与直线l交于点A、B,若点P的坐标为,
求|PA|+|PB|.
(3)已知函数f(x)=|x-a|.
(Ⅰ)若不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},求实数a的值;
(Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下,若f(x)+f(x+5)≥m对一切实数x恒成立,求≤
正确答案
(1)选修1:解:(Ⅰ)由题设得,解得
;
(Ⅱ)因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线y=3x上的两(0,0),(1,3),
由,
,
得点(0,0),(1,3)在矩阵M所对应的变换下的线的像是(0,0),(-2,2),
从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=-x.
(2)选修2:解:(Ⅰ)由ρ=2sinθ得x2+y2-2
y=0,即
=5.
(Ⅱ)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得=5,
即t2-3t+4=0,
由于-4×4=2>0,
故可设t1,t2是上述方程的两实根,
所以,
又直线l过点P(3,),
故由上式及t的几何意义得:
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.
(3)选修3:解:(Ⅰ)由f(x)≤3得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3,
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},
所以,解得a=2.
(Ⅱ)当a=2时,f(x)=|x-2|,
设g(x)=f(x)+f(x+5),
于是g(x)=|x-2|+|x+3|=,
所以,当x<-3时,g(x)>5;
当-3≤x≤2时,g(x)=5;
当x>2时,g(x)>5.
实数m的取值范围是m≤5.
解析
(1)选修1:解:(Ⅰ)由题设得,解得
;
(Ⅱ)因为矩阵M所对应的线性变换将直线变成直线(或点),所以可取直线y=3x上的两(0,0),(1,3),
由,
,
得点(0,0),(1,3)在矩阵M所对应的变换下的线的像是(0,0),(-2,2),
从而直线y=3x在矩阵M所对应的线性变换下的像的方程为y=-x.
(2)选修2:解:(Ⅰ)由ρ=2sinθ得x2+y2-2
y=0,即
=5.
(Ⅱ)将l的参数方程代入圆C的直角坐标方程,得=5,
即t2-3t+4=0,
由于-4×4=2>0,
故可设t1,t2是上述方程的两实根,
所以,
又直线l过点P(3,),
故由上式及t的几何意义得:
|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=t1+t2=3.
(3)选修3:解:(Ⅰ)由f(x)≤3得|x-a|≤3,解得a-3≤x≤a+3,
又已知不等式f(x)≤3的解集为{x|-1≤x≤5},
所以,解得a=2.
(Ⅱ)当a=2时,f(x)=|x-2|,
设g(x)=f(x)+f(x+5),
于是g(x)=|x-2|+|x+3|=,
所以,当x<-3时,g(x)>5;
当-3≤x≤2时,g(x)=5;
当x>2时,g(x)>5.
实数m的取值范围是m≤5.
扫码查看完整答案与解析