平面向量的基本定理及坐标表示
共854题

平面向量的基本定理及坐标表示
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题型：填空题

填空题

已知+=，-=，用、表示= 。

正确答案

（+）+（-）=+=，所以=

题型：填空题

填空题

对于n个向量，，，…，，若存在n个不全为零的实数k1，k2，…kn，使得k11+k22+…+knn=0成立，则称向量，，…，，是线性相关的．按此规定，能使向量=（1，0），=（1，-1），=（2，2）是线性相关的实数k1，k2，k3的值依次为______．（只需写出一组值即可）

正确答案

设存在不全为零的实数k1，k2，k3使得k1+k2+k3=，则，

不妨令k2=2，则k3=1，k1=-4．

∴能使向量=（1，0），=（1，-1），=（2，2）是线性相关的实数k1，k2，k3的值依次可以为-4，2，1．

故答案为-4，2，1．

题型：简答题

简答题

已知点A（-1，6）和B（3，0），在直线AB上求一点P，使||=||．

正确答案

设P的坐标为（x，y），

若=，则由（x+1，y-6）=（4，-6），

得解得

此时P点坐标为（，4）．

若=-，则由（x+1，y-6）=-（4，-6）

得解得

∴P（-，8）．

综上所述，P（，4）或（-，8）．

题型：填空题

填空题

若=(1，2)，=(x，1)，=+2，=2-，且∥，则x=______．

正确答案

∵=(1，2)，=(x，1)，

∴=+2=（1+2x，4），=2-=（2-x，3）

∵∥，∴3（1+2x）-4（2-x）=0，

解得x=．

故答案为：．

题型：填空题

填空题

已知向量=（x，y），向量∥，||=||，且≠，则的坐标为 ______．

正确答案

∵向量∥，

∴向量与方向相同或相反，

∵||=||，

∴向量与是相等向量或是相反向量，

∵≠

∴向量与是相反向量，

∴向量=（-x，-y）

故答案为：（-x，-y）

题型：简答题

简答题

已知向量=（-1，2），=（1，3），=（3，m）．

（1）若点A，B，C能构成三角形，求实数m应满足的条件；

（2）若点A，B，C构成直角三角形，且∠B=90°，求∠ACO的余弦值．

正确答案

（1）∵=（-1，2），=（1，3），=（3，m）．

∴=-=（2，1），=-=（2，m-3）

∵点A，B，C能构成三角形，

∴向量、不能共线，得2（m-3）≠1×2，所以m≠4，

即m满足的条件是m≠4

（2）∵=（2，1），=（2，m-3）且△ABC是以B为直角顶点的直角三角形

∴•=2×2+1×（m-3）=0，解得m=-1

可得=（3，-1），

∴=-=（-4，3），=-=（-3，1），

此时，cos∠ACO===，

∴∠ACO的余弦值等于．

题型：简答题

简答题

设两个非零向量和不共线．

(1) 如果=+，=，=，求证：、、三点共线；

(2) 若=2，=3，与的夹角为，是否存在实数，使得与垂直？并说明理由．

正确答案

(1) 证明见解析; (2) 存在实数，使得与垂直．

试题分析：(1)证明三点共线，只需证明三点构成的向量中任意两向量共线即可，由向量的运算++，所以向量共线，那么三点共线；(2)假设存在实数，使与垂直，那么（）（）=，又=2，=3，与的夹角为，将等式展可代入可得关于m的方程，得．

证明：（1） ++=（+）+（）+（）

=6（+）=6 , 且与有共同起点．、、三点共线

（2）假设存在实数，使得与垂直，则（）（）= =2，=3，与的夹角为

，，

故存在实数，使得与垂直．

题型：填空题

填空题

如图，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 .

正确答案

试题分析：因为三点共线，所以可设,故，又，所以，解得.

题型：填空题

填空题

与共线，则 .

正确答案

试题分析：所以.

题型：简答题

简答题

平面内给定三个向量=（3，2），=（-1，2），=（4，1）

（1）求|3-|

（2）若(+k)∥(2-)，求实数k的值．

正确答案

（1）由题意得3-=3×（3，2）-（4，1）=（5，5），

∴|3-|==5，

（2）由题意得+k=（3，2）+k（4，1）=（3+4k，2+k），

2-=2（-1，2）-（3，2）=（-5，2），

∵(+k)∥(2-)，∴2（3+4k）+5（2+k）=0，

解得k=-．

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