平面向量的基本定理及坐标表示
共854题

平面向量的基本定理及坐标表示
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题型：简答题

简答题

已知向量=(1，cos）与=（sin+cos，y）共线，且有函数y=f（x）．

（Ⅰ）若f（x）=1，求cos(-2x)的值；

（Ⅱ）在△ABC中，角A，B，C，的对边分别是a，b，c，且满足2acosC+c=2b，求函数f（B）的取值范围．

正确答案

（Ⅰ）∵与共线，∴=，y=sincos+cos2=sinx+(1+cosx)=sin(x+)+，∴f(x)=sin(x+)+=1，

即sin(x+)=，∴cos(-2x)=cos2(-x)=2cos2(-x)-1=2sin2(x+)-1=-．

（Ⅱ）已知2acosC+c=2b，

由正弦定理得：，

，∴cosA=，∴在△ABC中∠A=，f(B)=sin(B+)+．∵∠A=，∴0＜B＜，＜B+＜，

∴＜sin(B+)≤1，1＜f(B)≤，∴函数f（B）的取值范围为(1， ]．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A，B，C满足关系：1+=

（Ⅰ）求角A；　　

（Ⅱ）若向量=(0，-1)，=(cosB，2cos2)，试求|+|的最小值．

正确答案

（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理可得c=2rsinC，b=2rsinB．

∵，∴1+=，化简可得 sin（A+B）=2sinCcosA．

∵A+B=π-C，∴sin（A+B）=sinC≠0，∴cosA=，

∵0＜A＜π，∴A=．

（Ⅱ）向量=(0，-1)，=(cosB，2cos2)，

|+|=|（cosB，2cos2-1）|=|（cosB，cosC）|

=，

因为A=，所以B∈（0，），2B+∈(，)，

所以|+|的最小值为：．

题型：简答题

简答题

已知向量=(sin2x+2，cosx)，=(1，2cosx)，设函数f(x)=•．

（1）求f（x）的最小正周期与单调递减区间

（2）在△ABC中，a、b、c分别是角A、B、C的对边，若f（A）=4，b=1，△ABC的面积为，求a的值．

正确答案

（1）∵=(sin2x+2，cosx)，=(1，2cosx)，

∴f(x)=•=sin2x+2+2cos2x=sin2x+cos2x+3=2sin(2x+)+3

∴T==π

令2kπ+≤2x+≤2kπ+(k∈Z)

∴kπ+≤x≤kπ+π(k∈Z)

∴f（x）的单调区间为[kπ+，kπ+π]，k∈Z

（2）由f（A）=4得f(A)=2sin(2A+)+3=4

∴sin(2A+)=

又∵A为△ABC的内角

∴＜2A+＜

∴2A+=

∴A=

∵S△ABC=，b=1

∴bcsinA=

∴c=2

∴a2=b2+c2-2bccosA=4+1-2×2×1×=3

∴a=

题型：填空题

填空题

已知△ABC的三边长分别为AB=7，BC=5，CA=6，则•的值为 ______．

正确答案

由余弦定理得，cosB==，

•=||||cos(π-B)=-7×5×=-19

故答案为：-19

题型：填空题

填空题

△ABC中，向量=(a+b，sinC)，向量=(a+c，sinB-sinA)，若∥，则角B的大小为______．

正确答案

因为向量=(a+b，sinC)，向量=(a+c，sinB-sinA)，

又∥，

所以（a+b）（sinB-sinA）-（a+c）sinC=0，

由正弦定理可知

（b+a）（b-a）-（a+c）c=0，

b2-a2-ac-c2=0，

b2=a2+c2+ac，

结合余弦定理可知cosB=-，可得B=．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量=(1-sinA，)，=(cos2A，2sinA)，且∥．

（Ⅰ）求sinA的值；（Ⅱ）若b=2，△ABC的面积为3，求a．

正确答案

（Ⅰ）∵∥

∴cos2A=(1-sinA)•2sinA，

∴6（1-2sin2A）=7sinA（1-sinA），5sin2A+7sinA-6=0，∴sinA=．(sinA=-2舍)（6分）

（Ⅱ）由S△ABC=bcsinA=3，b=2，得c=5，

又cosA=±=±，

∴a2=b2+c2-2bccosA=4+25-2×2×5cosA=29-20cosA，

当cosA=时，a2=13，a=；（10分）

当cosA=-时，a2=45，a=3．（12分）

题型：简答题

简答题

在△ABC中，已知内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，向量=(，-2sinB)，=(2cos2-1，cos2B)，且∥．

（1）求锐角B的大小；

（2）设b=，且B为钝角，求ac的最大值．

正确答案

（1）由∥，

得cos2B+2sinB•(2cos2-1)=0（2分）

解法一：即cos2B+sin2B=0∴2sin(2B+)=0（5分）

∵B∈(0，)，

∴2B+∈(，)，

∴2B+=π，

即锐角B=．（7分）

解法二：即sin2B=-cos2B．

即tan2B=-．（5分）

又∵B为锐角，

∴2B∈（0，π）．

∴2B=，

∴B=．（7分）

（2）∵B为钝角，由（Ⅰ）知：B=，b=，

∴由余弦定理得：cosB==-

得：-ac=a2+c2-3≥2ac-3，

∴ac≤6-3，

∴ac的最大值为：6-3．

题型：简答题

简答题

在F（x）中，已知内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，向量=(2sinB，-)，=(cos2B，2cos2-1)，且∥

（I）求锐角B的大小；

（II）如果b=2，求F（x）的面积S△ABC的最大值．

正确答案

（I）∥

由向量平行的坐标表示可得，由向量平行的坐标表示可得，2sinB×(2cos2-1)-(-)×cos2B=0

即2sinBcosB+cos2B=0

∴sin2B+cos2B=0

∴2sin(2B+)=0

∵0＜B＜

∴B=

（II）∵b=2，B=60°

由余弦定理可得，4=b2=a2+c2-2ac×=a2+c2-ac≥ac

∴ac≤4

∴S△ABC=acsinB=ac≤

三角形的面积最大值为

题型：填空题

填空题

已知向量，与x轴正半轴所成角分别为α，β（以x轴正半轴为始边），||=||=2，-=(，1)，则cos2（α-β）=______．

正确答案

∵向量，与x轴正半轴所成角分别为α，β，||=||=2，-=(，1)，

∴(

) 2=

2-2•+

2=4，即•=||•|| cos(α-β)=2，

∴cos（α-β）=，

∴cos2(α-β)= 2cos2(α-β)-1=-，

故答案为：-．

题型：简答题

简答题

在△ABC中，a，b，c分别是内角A，B，C所对的边，C=，a=，若向量=（1，si3A），=（6，si3B），且∥．

（I）求b，c的值；

（II）求角A的大小及△ABC的面积．

正确答案

（I）∵=（1，sinA），=（0，sinB），∥，

∴sinB-0sinA=3，

由正弦定理可知 b=0a=0，

又∵c0=a0+b0-0abcosC，

C=，a=，

所以c0=（）0+（0）0-0••0cos=9，

∴c=3；

（II）由=，得=，

∴sinA=，A=或，

又C=，

∴A=，

所以△ABC的面积S=bcsinA=×0×sin=．

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