平面向量的基本定理及坐标表示
共854题

平面向量的基本定理及坐标表示
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题型：简答题

简答题

已知向量=（sina，cosa），=（6sina+cosa，7sina-2cosa），设函数f（a）=•．

（1）求函数f（a）的最大值；

（2）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（A）=6，且△ABC的面积为3，b+c=2+3，求a的值．

正确答案

（Ⅰ）f（a）=•=sina（6sina+cosa）+cosa（7sina-2cosa）

=6sin2a-2cos2a+8sinacosa=4（1-cos2a）+4sin2a-2

=4sin（2a-）+2

∴f(a)max=4+2

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得f（A）=4sin（2A-）+2=6，sin（2A-）=

因为 0＜A＜，所以-＜2A-＜

所以：2A-=，A=

∵S△ABC=bcsinA=bc=3

∴bc=6，又b+c=2+3

∴a2=b2+c2-2bccosA=(b+c)2-2bc-2bc×

=(2+3

)2-12-2×6×=10

∴a=

题型：简答题

简答题

已知=(1，2)，=(-3，2)，

①若k+与-3垂直，求k的值；

②若k+与-3平行，求k的值．

正确答案

∵=（1，2）、=(-3，2)

∴k+=(k-3，2k+2)，

-3=(10，-4)…（4分）

①∵k+与-3垂直

∴(k+)•(-3)=0

即10（k-3）-4（2k+2）=0

∴k=19…（8分）

②∵k+与-3平行

∴（k-3）×（-4）-（2k+2）×10=0

∴k=-…（12分）

题型：简答题

简答题

已知向量=（sin x，cos x），=（cos x，cos x），且≠0，定义函数f（x）=2•-1．

（1）求函数f（x）的单调增区间；

（2）若∥，求tan x的值；

（3）若⊥，求x的最小正值．

正确答案

（1）f（x）=2•-1

=2（sin xcos x+cos2x）-1=sin 2x+cos 2x=2sin（2x+）．

由2kπ-≤2x+≤2kπ+（k∈Z），

得kπ-≤x≤kπ+．∴单调增区间为[kπ-，kπ+]，k∈Z．

（2）由∥，得sin xcos x-cos2x=0，

∵b≠0，∴cos x≠0．∴tan x-=0，∴tan x=．

（3）由⊥，得sin xcos x+cos2x=0，

∵b≠0，∴cos x≠0，∴tan x=-

故x的最小正值为：x=．

题型：简答题

简答题

已知A（2，3），B（-4，0），P（-3，1），Q（-1，2），试判断直线BA于PQ的位置关系，并证明你的结论．

正确答案

∵=（-4，0）-（2，3）=（-6，-3）=-3（2，1），=(-1，2)-(-3，1)=（2，1）

∴=-3，

∴∥，

又A，B，P三点不在同一条直线上，

可得BA∥PQ．

题型：简答题

简答题

已知O为坐标原点，A（0，1），B（3，4），，

（1）求点M在第二象限或第三象限的充要条件；

（2）求证：当t1=1时，不论t2为何实数，A、B、M三点都共线；

（3）若t1=2，求当点M为∠AOB的平分线上点时t2的值。

正确答案

解：（1）由A（0，1），B（3，4），

得，

故点M在第二象限或第三象限的充要条件为；

（2）∵，

，

∴A，B，M三点共线；

（3）∵，=，

，

因点M为∠AOB的平分线上的点，

∴ 即。

题型：简答题

简答题

已知O为三角形ABC内一点，∠AOB=150°，∠BOC=90°，若=，=，=，且||=2，||=1，||=3，

（1）用，表示

（2）求•（-）

正确答案

（1）如图，建立直角坐标系：易知：=（-，-1），=（1，0），=（0，3）．

设=x+y，则（0，3）=x（-，-1）+y（1，0）=（-x+y，-x），

解得x=-3，y=-3，即=-3-3．

（2）•（-）=•-•=（-）-（-3）=3-．

题型：填空题

填空题

设向量=（1，2m），=（m+1，1），=（2，m），若（+）⊥，则||=______．

正确答案

∵=（1，2m），=（m+1，1），=（2，m），

∴+=（3，3m），

∵（+）⊥，

∴（+）•=3（m+1）+3m=0，

∴m=-，即=(1，-1)

∴||=．

故答案为：．

题型：简答题

简答题

已知=（1，x），=（x2+x，-x），m为常数且m≤-2，求使不等式•+2＞m（+1）成立的x的范围．

正确答案

解∵=（1，x），=（x2+x，-x），∴•=x2+x-x2=x．

由•+2＞m（+1）⇔x+2＞m(+1)⇔（x+2）-m＞0

⇔x（x+2）（x-m）＞0（m≤-2）．

①当m=-2时，原不等式⇔2x（x+2）2＞0⇔3x＞0；即x＞0，

②当m＜-2时，原不等式⇔m＜x＜-2或x＞0．

综上，m≤-2时，x的取值范围是（m，-2）∪（0，+∞）．

题型：填空题

填空题

（中坐标运算）已知正△ABC的边长为1，则|+2+3|等于______．

正确答案

以BC的中点为原点，BC所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，

则A(0，)，B(-，0)，C(，0)，∴=(-，)，=(-，-)．

∴+2+3=（++）++2=+2=(-，-)．

于是|+2+3|=．

故答案为：

题型：填空题

填空题

已知三点A（a，2）B（5，1）C（-4，2a）在同一条直线上，则a=______．

正确答案

设直线的解析式是y=kx+b，

由A，B，C三点在图象上，得到，

解得a=2或．

故答案为：2或．

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