热门试卷

依题意可设椭圆C1和C2的方程分别为

C1：，C2：.

其中a＞m＞n＞0，λ＝.

（1）解法1：

如图1，若直线l与y轴重合，即直线l的方程为x＝0，则S1＝|BD|·|OM|＝a|BD|，S2＝|AB|·|ON|＝a|AB|，

所以.

在C1和C2的方程中分别令x＝0，可得yA＝m，yB＝n，yD＝－m，

于是.

若，则，化简得λ2－2λ－1＝0.

由λ＞1，可解得λ＝.

故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝.

解法2：如图1，若直线l与y轴重合，则

|BD|＝|OB|＋|OD|＝m＋n，|AB|＝|OA|－|OB|＝m－n；

S1＝|BD|·|OM|＝a|BD|，

S2＝|AB|·|ON|＝a|AB|。

所以.

若，则，化简得λ2－2λ－1＝0.

由λ＞1，可解得λ＝.

故当直线l与y轴重合时，若S1＝λS2，则λ＝.

（2）解法1：

如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.根据对称性，不妨设直线l：y＝kx（k＞0），点M（－a,0），N（a,0）到直线l的距离分别为d1，d2，则，，所以d1＝d2.

又S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2，所以，即|BD|＝λ|AB|。

由对称性可知|AB|＝|CD|，所以|BC|＝|BD|－|AB|＝（λ－1）|AB|，

|AD|＝|BD|＋|AB|＝（λ＋1）|AB|，于是

.①

将l的方程分别与C1，C2的方程联立，可求得

，.

根据对称性可知xC＝－xB，xD＝－xA，于是

＝.②

从而由①和②式可得

.③

令，则由m＞n，可得t≠1，于是由③可解得.

因为k≠0，所以k2＞0.于是③式关于k有解，当且仅当，

等价于由λ＞1，可解得＜t＜1，

即，由λ＞1，解得λ＞，所以

当1＜λ≤时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2；

当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l使得S1＝λS2.

解法2：如图2，若存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2.根据对称性，不妨设直线l：y＝kx（k＞0），

点M（－a,0），N（a,0）到直线l的距离分别为d1，d2，

则，，所以d1＝d2.

又S1＝|BD|d1，S2＝|AB|d2，所以.

因为，所以.

由点A（xA，kxA），B（xB，kxB）分别在C1，C2上，可得，，两式相减可得，

依题意xA＞xB＞0，所以.所以由上式解得.

因为k2＞0，所以由，可解得.

从而，解得λ＞，所以

当1＜λ≤时，不存在与坐标轴不重合的直线l，使得S1＝λS2；

当λ＞时，存在与坐标轴不重合的直线l使得S1＝λS2.

（1）直线l∥平面PAC，证明如下：

连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，

所以EF∥AC.

又EF平面ABC，且AC平面ABC，

所以EF∥平面ABC.

而EF平面BEF，且平面BEF∩平面ABC＝l，所以EF∥l.

因为l平面PAC，EF平面PAC，

所以直线l∥平面PAC.

（2）

证明：（综合法）如图1，连接BD，由（1）可知交线l即为直线BD，且l∥AC.

因为AB是O的直径，

所以AC⊥BC，

于是l⊥BC.

已知PC⊥平面ABC，而l平面ABC，所以PC⊥l.

而PC∩BC＝C，所以l⊥平面PBC.

连接BE，BF，因为BF平面PBC，

所以l⊥BF.

故∠CBF就是二面角E－l－C的平面角，

即∠CBF＝β.

由，作DQ∥CP，且.

连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP＝2PF，

所以DQ＝PF，

从而四边形DQPF是平行四边形，PQ∥FD.

连接CD，因为PC⊥平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，

故∠CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即∠CDF＝θ.

又BD⊥平面PBC，有BD⊥BF，知∠BDF为锐角，

故∠BDF为异面直线PQ与EF所成的角，即∠BDF＝α，

于是在Rt△DCF，Rt△FBD，Rt△BCF中，分别可得

sin θ＝，sin α＝，sin β＝，

从而sin αsin β＝＝sin θ，

即sin θ＝sin αsin β.

（向量法）如图2，由，作DQ∥CP，且.

图2

连接PQ，EF，BE，BF，BD，由（1）可知交线l即为直线BD.

以点C为原点，向量，，所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CA＝a，CB＝b，CP＝2c，则有C（0,0,0），A（a,0,0），B（0，b,0），P（0,0,2c），Q（a，b，c），E，F（0,0，c）。

于是，＝（－a，－b，c），＝（0，－b，c），

所以cos α＝，从而.

又取平面ABC的一个法向量为m＝（0,0,1），可得，

设平面BEF的一个法向量为n＝（x，y，z），

所以由可得取n＝（0，c，b）。

于是|cos β|＝，

从而sin β＝.

故sin αsin β＝＝sin θ，即sin θ＝sin αsin β