函数的最值
共119题

· 函数的最值

函数的最值
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题型：简答题

简答题 · 10 分

设函数

（1）解不等式；

（2）求函数的最小值.

正确答案

见解析。

解析

（1）原不等式等价于不等式组

或或

解得或

（2）由（1）知,

由函数的图像可知

当时，有最小值-7；

知识点

函数的最值

题型：简答题

简答题 · 13 分

已知直线过椭圆的右焦点，抛物线的焦点为椭圆的上顶点,且直线交椭圆于两点,点在直线上的射影依次为点.

（1）求椭圆的方程；

（2）若直线交轴于点,且,当变化时,证明：；

（3）连接,试探索当变化时,直线与是否相交于定点?若是,求出定点的坐标,并给出证明；否则，请说明理由。

正确答案

见解析

解析

（1）C：

（2）易知,,设A(x1,y1),B(x2,y2)

由

又由得：，

（3）m=0时,得N(,0),猜想:m变化时, 直线AE与BD相交于定点N(,0),

由（2）知A(x1,y1),B(x2,y2)于是 D(4,y1),E(4,y2)，

先证直线AE过定点N：直线AE的方程为：

当x=时

所以，点N在直线AE上，同理可得点N在直线BD上。即：m变化时, 直线AE与BD相交于定点N(,0),

知识点

函数的最值

题型：填空题

填空题 · 5 分

已知为等差数列，为其前项和.若，，则公差________；的最小值为_____ .

正确答案

答案：12；-54

解析

略

知识点

函数的最值

题型：简答题

简答题 · 10 分

设函数

（1）求函数的最小值;

（2）若恒成立，求实数的取值范围.

正确答案

见解析

解析

（1）由题意得

所以 f（x）在上单调递减，在上单调递增。

所以当时取得最小值

此时

（2）的图像恒过点过

由图象可知.

知识点

函数的最值不等式恒成立问题绝对值三角不等式

题型：简答题

简答题 · 10 分

已知函数

（1）求的值。

（2）求的最大值和最小值。

正确答案

见解析。

解析

（1）= ……………………………………4分

（2） ……………………………………………………6分

因为,所以，

当时，取得最大值，最大值为2； ………………………………8分

当时，取得最小值，最小值为-1.……………………………………10分

知识点

函数的最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

我们把离心率之差的绝对值小于的两条双曲线称为“相近双曲线”。已知双曲线，则下列双曲线中与是“相近双曲线”的为（）.

正确答案

解析

双曲线的离心率为，对于A答案，其离心率为，不符合题意；对于B答案，其离心率为，符合题意；对于C答案，其离心率为，不符合题意；对于D答案，其离心率为3，不符合题意.选B.

知识点

函数的最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

7.动圆C经过点F(1，0)，并且与直线x＝－1相切，若动圆C与直线y＝x＋2＋1总有公共点，则圆C的面积(　　)

A有最大值8π

B有最小值2π

C有最小值3π

D有最小值4π

正确答案

解析

设圆心C(a，b)，半径为r，r＝|CF|＝|a＋1|，即(a－1)2＋b2＝(a＋1)2，即，∴圆心，，圆心到直线y＝x＋2＋1的距离为≤，∴b≤－2(2＋3)或b≥2.当b＝2时，rmin＝×4＋1＝2，∴Smin＝πr2＝4π.

知识点

函数的最值

题型：单选题

单选题 · 5 分

若实数x，y满足0＜x≤2，0＜y≤2，且使关于t的方程t2+2xt+y=0与t2+2yt+x=0均有实数根，则2x+y有（　　）

A最小值2

B最小值3

C最大值2+2

D最大值4+

正确答案

解析

由于实数x，y满足0＜x≤2，0＜y≤2，且使关于t的方程t2+2xt+y=0与t2+2yt+x=0均有实数根，

则，作出不等式组对应的平面区域如图：

由z=2x+y得y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x，由图象可知，

当直线y=﹣2x+z经过点A时，y=﹣2x+z的截距最小，此时z最小。

当直线y=﹣2x+z经过点B（2，2）时，y=﹣2x+z的截距最大，此时z最大。

由于，则A（1，1），

故z=2x+y有最小值3，最大值6。

知识点

函数的最值

题型：简答题

简答题 · 12 分

已知向量＝，＝(sin x，cos 2x)，x∈R，设函数。　

（1）求f (x)的最小正周期；

（2）求f(x)在上的最大值和最小值。

正确答案

（1）π

（2）最大值是1，最小值是

解析

f(x)＝＝＝＝＝。

（1）f(x)的最小正周期为，即函数f(x)的最小正周期为π。

（2）∵0≤x≤，∴

由正弦函数的性质，

当，即时，f(x)取得最大值1

当，即x＝0时，f(0)＝，

当，即x＝时，，

∴f(x)的最小值为

因此，f(x)在上最大值是1，最小值是

知识点

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题型：单选题

单选题 · 5 分

8.对向量a＝(a1，a2)，b＝(b1，b2)定义一种运算“⊗”：a⊗b＝(a1，a2)⊗(b1，b2)＝(a1b1，a2b2).已知动点P，Q分别在曲线y＝sin x和y＝f(x)上运动，且＝m⊗＋n(其中O为坐标原点)，若向量m＝(，3)，n＝ (，0)，则y＝f(x)的最大值为(　　)

正确答案

解析

设P＝(x1，y1)，Q＝(x，y)，∵m＝(，3)，

∴m⊗＝(，3)⊗(x1，y1)＝(，3y1)，

∵＝m⊗＋n，∴，

∴，y＝3y1，

∴，，

又y1＝sin x1，∴＝sin(2x－)，

∴y＝3sin(2x－)，显然当sin(2x－)＝1时，y＝f(x)取得最大值3.

知识点

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