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题型:简答题
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简答题

已知函数f(x)=x3+x2,数列|xn|(xn>0)的第一项x1=1,以后各项按如下方式取定:曲线x=f(x)在(xn+1,f(xn+1))处的切线与经过(0,0)和(xn,f (xn))两点的直线平行(如图)。求证:当n∈N*时,

(1)xn2+xn=3xn+12+2xn+1

(2)

正确答案

解:(1)因为f′(x)=3x2+2x

所以曲线y=f (x)在(xn+1,f (xn-1))处的切线斜率kn+1=3xn+12+2xn+1

因为过(0,0)和(xn,f (xn))两点的直线斜率是xn2+xn

所以xn2+xn= 3xn+12+2xn+1

(2)因为函数h(x)=x2+x 当x>0时单调递增,

而xn2+xn=3xa+12+2xn+1 ≤4xn+12+2xn+1

所以,即

因此

又因为

令yn=xn2+xn

因为y1=x21+x1=2

所以

因此

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题型:填空题
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填空题

已知函数在点(x1,f(x1))处的切线在x轴上的截距为x2,则当时,的取值范围是_________

正确答案

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题型:填空题
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填空题

以下四个关于圆锥曲线的命题中:

①设AB为两个定点,k为非零常数,若,则动点P的轨迹为双曲线;

②过定圆C上一定点A作圆的动弦ABO为坐标原点,若,则动点P的轨迹为椭圆;

③抛物线的焦点坐标是

④曲线与曲线)有相同的焦点.

其中真命题的序号为____________写出所有真命题的序号.

正确答案

③④

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题型:简答题
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简答题

(本题满分16分)本题共有3个小题,第1小题满分4分,第2小题满分6分,第3小题满分6分.

已知椭圆),其左、右焦点分别为,且成等比数列.

(1)求的值.

(2)若椭圆的上顶点、右顶点分别为,求证:

(3)若为椭圆上的任意一点,是否存在过点的直线,使轴的交点满足?若存在,求直线的斜率;若不存在,请说明理由.

正确答案

(1)由题设,得.(4分)

(2)由题设,又,得,(8分)

于是,故.(10分)

(3)由题设,显然直线垂直于轴时不合题意,设直线的方程为

,又,及,得点的坐标为,(12分)

因为点在椭圆上,所以,又,得

,与矛盾,故不存在满足题意的直线.(16分)

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题型:简答题
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简答题

已知O为坐标原点,曲线C上的任意一点P到点F(0,1)的距离与到直线l:y=-1的距离相等,过点F的直线交曲线C于A、B两点,且曲线C在A、B两点处的切线分别为l1、l2

(1)求曲线C的方程;

(2)求证:直线l1、l2互相垂直;

(3)y轴上是否存在一点R,使得直线RF始终平分∠ARB?若存在,求出R点坐标;若不存在,说明理由.

正确答案

(1)∵P到点F(0,1)的距离与到直线l:y=-1的距离相等,

∴曲线C是以F(0,1)为焦点,直线y=-1为准线的抛物线,其方程为x2=4y

(2)焦点F(0,1),设直线AB:y=kx+1,A(x1,y1),B(x2,y2

直线方程与抛物线方程联立得x2-4kx-4=0,

∴x1x2=-4,又y'=x,

∴直线l1的斜率为k1=x1,直线l2的斜率为k2=x2

∴k1k2=•x1x2=-1,即直线l1和l2互相垂直.

(3)假设y轴上存在一点R(0,y0),使得直线RF始终平分∠ARB,则有kAR+kBR=0

+=0

∴x2(y0-y1)+x1(y0-y2)=0∴y0(x2+x1)-(x2y1+x1y2)=0

∴y0(x2+x1)-x1x2( x2+x1)=0

∴y0+1=0∴y0=-1,即存在R(0,-1)满足条件.

下一知识点 : 两条直线平行与垂直的判定与性质
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