斜率的计算公式
共221题

· 斜率的计算公式

斜率的计算公式
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题型：简答题

简答题

已知函数f（x）=x3+x2，数列|xn|（xn＞0）的第一项x1=1，以后各项按如下方式取定：曲线x=f（x）在（xn+1，f（xn+1））处的切线与经过（0，0）和（xn，f （xn））两点的直线平行（如图）。求证：当n∈N*时，

（1）xn2+xn=3xn+12+2xn+1；

（2）

正确答案

解：（1）因为f′（x）=3x2+2x

所以曲线y=f （x）在（xn+1，f （xn-1））处的切线斜率kn+1=3xn+12+2xn+1

因为过（0，0）和（xn，f （xn））两点的直线斜率是xn2+xn

所以xn2+xn= 3xn+12+2xn+1。

（2）因为函数h（x）=x2+x 当x>0时单调递增，

而xn2+xn=3xa+12+2xn+1 ≤4xn+12+2xn+1

所以，即

因此

又因为

令yn=xn2+xn则

因为y1=x21+x1=2

所以

因此

故。

题型：填空题

填空题

已知函数在点（x1，f（x1））处的切线在x轴上的截距为x2，则当时，的取值范围是_________．

正确答案

题型：填空题

填空题

以下四个关于圆锥曲线的命题中：

①设A、B为两个定点，k为非零常数，若，则动点P的轨迹为双曲线；

②过定圆C上一定点A作圆的动弦AB，O为坐标原点，若，则动点P的轨迹为椭圆；

③抛物线的焦点坐标是；

④曲线与曲线（且）有相同的焦点．

其中真命题的序号为____________写出所有真命题的序号．

正确答案

③④

略

题型：简答题

简答题

（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．

已知椭圆：（），其左、右焦点分别为、，且、、成等比数列．

（1）求的值．

（2）若椭圆的上顶点、右顶点分别为、，求证：．

（3）若为椭圆上的任意一点，是否存在过点、的直线，使与轴的交点满足？若存在，求直线的斜率；若不存在，请说明理由．

正确答案

略

（1）由题设及，得．（4分）

（2）由题设，，又，得，，（8分）

于是，故．（10分）

（3）由题设，显然直线垂直于轴时不合题意，设直线的方程为，

得，又，及，得点的坐标为，（12分）

因为点在椭圆上，所以，又，得，

，与矛盾,故不存在满足题意的直线．（16分）

题型：简答题

简答题

已知O为坐标原点，曲线C上的任意一点P到点F（0，1）的距离与到直线l：y=-1的距离相等，过点F的直线交曲线C于A、B两点，且曲线C在A、B两点处的切线分别为l1、l2．

（1）求曲线C的方程；

（2）求证：直线l1、l2互相垂直；

（3）y轴上是否存在一点R，使得直线RF始终平分∠ARB？若存在，求出R点坐标；若不存在，说明理由．

正确答案

（1）∵P到点F（0，1）的距离与到直线l：y=-1的距离相等，

∴曲线C是以F（0，1）为焦点，直线y=-1为准线的抛物线，其方程为x2=4y

（2）焦点F（0，1），设直线AB：y=kx+1，A（x1，y1），B（x2，y2）

直线方程与抛物线方程联立得x2-4kx-4=0，

∴x1x2=-4，又y'=x，

∴直线l1的斜率为k1=x1，直线l2的斜率为k2=x2，

∴k1k2=•x1x2=-1，即直线l1和l2互相垂直．

（3）假设y轴上存在一点R（0，y0），使得直线RF始终平分∠ARB，则有kAR+kBR=0

∴+=0

∴x2（y0-y1）+x1（y0-y2）=0∴y0（x2+x1）-（x2y1+x1y2）=0

∴y0(x2+x1)-x1x2( x2+x1)=0

∴y0+1=0∴y0=-1，即存在R（0，-1）满足条件．

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