热门试卷

不存在

设在左支上存在点，使，

由双曲线的定义知，即．

又，解得，．

因在中有，

，．

解得，，

，与已知矛盾．

符合条件的点不存在．

解：(Ⅰ) 由已知知.

所以

设，代入上式得

平方整理得．…………………………………………………………4分

（Ⅱ）由题意可知设直线的斜率不为零，且恰为双曲线的右焦点，

设直线的方程为，

由…………………………………6分

若，则直线与双曲线只有一个交点，这与矛盾，故.

由韦达定理可得

…………………………8分

………………………………10分

故直线的方程为.………………………………12分

略

（1）（2）该命题为真命题（3）见解析

（Ⅰ）过F作l的垂线交l于K，以KF的中点为原点，KF所在的直线为x轴建立平面直角坐标系如图1，并设|KF|=p，则可得该该抛物线的

方程为.

（Ⅱ）该命题为真命题，证明如下：

如图2，设PQ中点为M，P、Q、M在抛物线

准线l上的射影分别为A、B、D，

∵PQ是抛物线过焦点F的弦，

∴ |PF|=|PA|，|QF|=|QB|，又|MD|是梯形APQB

的中位线，

  ∴ .

∵M是以PQ为直径的圆的圆心，∴圆M与l相切.

（Ⅲ）选择椭圆类比（Ⅱ）所写出的命题为：

“过椭圆一焦点F的直线与椭圆交于P、Q两点，

则以PQ为直径的圆一定与椭圆相应的准线l相离”.

此命题为真命题……10分

证明如下：

证明：设PQ中点为M，椭圆的离心率为e，

则0<e<1，P、Q、M在相应准线l上的射影分别为A、B、D，

∵，∴；同理得.

∵|MD|是梯形APQB的中位线，

∴.

∴圆M与准线l相离.

选择双曲线类比（Ⅱ）所写出的命题为：

“过双曲线一焦点F的直线与双曲线交于P、Q两点，则以PQ为直径的圆一定与双曲线相应的准线l相交”. 此命题为真命题，证明如下：……………………11分

证明：设PQ中点为M，双曲线的离心率为e，则e>1，P、Q、M在相应准线l上的射影分别为A、B、D，

∵，∴；同理得.

∵|MD|是梯形APQB的中位线，

∴.

∴圆M与准线l相交.