热门试卷

（1）见解析；（2）.

(1)因为,取AC的中点M，连接BM，A1M，可知三角形A1AC和三角形ABC都为正三角形，所以易证AC垂直平面A1MB，从而证得.

(2) 当三棱柱的体积最大时，点到平面的距离最大，此时平面.由（1）知A1在底面的射影一定在直线BM上，并且三角形A1MB是等腰三角形，

所以当O与M重合时，点到平面的距离最大.然后在此基础上再求二面角的大小即可.

另解：当三棱柱的体积最大时，点到平面的距离最大，此时平面.以所在的直线分别为轴，建立直角坐标系，依题意得.

由得，设平面的一个法向量为

而，则，取

而平面，则平面的一个法向量为

于是，

故平面与平面所成锐角的余弦值为.

见解析

本试题主要是考查了异面直线的概念的运用。

假设直线ME与BN共面，则平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，

由已知，两正方形不共面，故平面DCEF. 又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB∥EN.

又AB∥CD∥EF推出矛盾得到证明，

证明： 假设直线ME与BN共面，则平面MBEN，且平面MBEN与平面DCEF交于EN，

由已知，两正方形不共面，故平面DCEF.

又AB∥CD，所以AB∥平面DCEF.而EN为平面MBEN与平面DCEF的交线，

所以AB∥EN.

又AB∥CD∥EF,

所以EN∥EF，这与矛盾，故假设不成立。

所以ME与BN不共面，它们是异面直线。     --12分

（1）见解析；（2）

第一问中运用线面平行的性质定理，可以求证线线平行，结合了三角形的中位线定理。第二问中，求解棱锥的体积问题，一般就是求解底面积和高即可。先建立空间直角坐标系，然后表示三角形的面积，，，结合向量的关系式得到体积公式。

解：

（I）（综合法）

证明：设G是线段DA与EB延长线的交点. 由于△OAB与△ODE都是正三角形，所以

    OB∥1/2DE，OB =1/2DE，OG=OD=2，   同理，设G’是线段DA与线段FC延长线的交点，有OG’=OD=2

又由于G和G’都在线段DA的延长线上，所以G与G’重合.

在△GED和△GFD中，由

 OB∥1/2DE，OB =1/2DE和OC∥1/2DF，OC=1/2DF可知B和C分别是GE和GF的中点，所以BC是△GEF的中位线，故BC∥EF.

（向量法）

过点F作FQAD，交AD于点Q，连QE，由平面ABED⊥平面ADFC，知FQ⊥平面ABED，以Q为坐标原点，QE为X轴正向，QD为y轴正向，DF为z轴正向，建立如图所示空间直角坐标系.

由条件知

则有

所以即得BC∥EF.

（II）解：由OB=1，OE=2，，而△OED是边长为2的正三角形，故

所以

过点F作FQ⊥AD，交AD于点Q，由平面ABED⊥平面ACFD知，FQ就是四棱锥F—OBED的高，且FQ=，所以

（Ⅰ）证明：见解析；（Ⅱ）证明：见解析；（Ⅲ）G点到平面PEC的距离为. 

本试题主要考查了线面的位置关系的运用，点到面的距离的求解。

线面平行的判定和线面垂直的判定的综合运用。

（1）由于CD⊥AD，CD⊥PA    ∴CD⊥平面PAD  ∴CD⊥AG又PD⊥AG，从而由判定定理得到结论。

（2）作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD 

∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD，故EF∥AG可知线面平行。

（3）由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等

由（Ⅱ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD 

∴ AE∥平面PCD

∴ AE∥GF，∴ 四边形AEFG为平行四边形，∴ AE＝GF，然后利用转换顶点得到体积的求解。

解（Ⅰ）

，

证明：∵CD⊥AD，CD⊥PA    

∴CD⊥平面PAD  ∴CD⊥AG

又PD⊥AG     

∴AG⊥平面PCD          …………4分

（Ⅱ）证明：作EF⊥PC于F，因面PEC⊥面PCD 

∴EF⊥平面PCD，又由（Ⅰ）知AG⊥平面PCD 

∴EF∥AG，又AG 面PEC，EF 面PEC，

∴AG∥平面PEC    ………………7分

（Ⅲ）由AG∥平面PEC知A、G两点到平面PEC的距离相等

由（Ⅱ）知A、E、F、G四点共面，又AE∥CD 

∴ AE∥平面PCD

∴ AE∥GF，∴ 四边形AEFG为平行四边形，∴ AE＝GF     ……………8分

PA＝AB＝4， G为PD中点，FG   CD∴ FG＝2       ∴ AE＝FG＝2                   ………………………9分

∴                ………………………10分

又EF⊥PC，EF＝AG

∴         ………………………11分

又 ，∴，即，∴

∴ G点到平面PEC的距离为.              ………………………12分网