热门试卷

证明略

  设A1C1中点为F，连接NF，FC，

∵N为A1B1中点，

∴NF∥B1C1，且NF=B1C1，

又由棱柱性质知B1C1 BC，

又M是BC的中点，

∴NF MC，

∴四边形NFCM为平行四边形.

∴MN∥CF，又CF平面AA1C1，

MN平面AA1C1，

∴MN∥平面AA1C1.

（1）证明详见解析；（2）2 .

试题分析：（1）由已知条件用余弦定理和勾股定理推导出AB⊥AC．又PA⊥面ABCD，以AB，AC，AP分别为x，y，z轴建立坐标系．利用向量法能求出BE∥平面ACF．

（2）分别求出面PCD法向量和面ACF的法向量，由，利用向量法能求出PA的长．

（1）由，得，．

又面，所以以分别为轴建立坐标系如图．

则   2分

设，则 ．

设，得：．

解得：，，，

所以．                                4分

所以,，．

设面的法向量为，则，取．

因为，且面，所以平面．   6分

（2）设面法向量为，因为，，

所以，取 ．             9分

由，得．

，得，∴，所以．      12分

证明：（Ⅰ）取的中点，连接.

在△中，是的中点，是的中点，所以，

又因为，

所以且.

所以四边形为平行四边形，

所以.

又因为平面，平面，

故平面.                                     …………… 4分

解法二：因为平面，，故以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系.           ……………1分                                             

由已知可得

（Ⅰ）， .      ……………2分

设平面的一个法向量是.

由得  

令，则.                               ……………3分

又因为，

所以，又平面，所以平面.      ……………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知平面的一个法向量是.

因为平面，所以.

又因为，所以平面.

故是平面的一个法向量.

所以，又二面角为锐角，

故二面角的大小为.                           ……………10分

（Ⅲ）假设在线段上存在一点，使得与所成的角为.

不妨设（），则.

所以，

由题意得，

化简得，

解得.

所以在线段上不存在点，使得与所成的角为.…………14分

略