热门试卷

（Ⅰ）如图，建立坐标系，则，，，，，，，，，．，，

又，面．……6分    

（Ⅱ）设平面的法向量为，

设平面的法向量为，

则，，

解得．

，．二面角的大小为．……12分

略

证明略

证法一:作MP⊥BC，NQ⊥BE，P、Q为垂足，则MP∥AB，NQ∥AB.

∴MP∥NQ，又AM=NF，AC=BF，

∴MC=NB，∠MCP=∠NBQ=45°

∴Rt△MCP≌Rt△NBQ

∴MP=NQ,故四边形MPQN为平行四边形

∴MN∥PQ

∵PQ平面BCE，MN在平面BCE外，

∴MN∥平面BCE 

证法二: 如图过M作MH⊥AB于H，则MH∥BC，

∴

连结NH，由BF=AC，FN=AM，得

∴ NH//AF//BE

由MH//BC, NH//BE得:平面MNH//平面BCE

∴MN∥平面BCE.

（Ⅰ）见解析

（Ⅱ）

解（Ⅰ）法1：过点E作CD的平行线交DF于点M，连接AM．

因为CE//DF，所以四边形CEMD是平行四边形．可得EM = CD且EM //CD，于是四边形BEMA也是平行四边形，所以有BE//AM，而直线BE在平面ADF外，所以BE//平面ADF．                                   6分

法2：以直线DA为x轴，直线DC为y轴，直线DF为z轴，建立空间直角坐标系．则平面ADF的一个法向量为．

设AB = a，BC = b，CE = c，则点B、E的坐标分别为（b，a，0）和（0，a，c），那么向量．可知，得，而直线BE在平面ADF的外面，所以BE//平面ADF．

（Ⅱ）由EF =，EM =" AB" =，得FM = 3且．

由可得FD = 4，从而得CE =1．     8分

设BC = a，则点B的坐标为（a，，0）．又点E、F的坐标分别为（0，，1）和（0，0，4），所以，．

设平面BEF的一个法向量为，则，解得一组解为，所以．                  10分

易知平面DEF的一个法向量为，可得

由于此时就是二面角B-EF-D的大小，所以，可得．

所以另一边BC的长为时，二面角B-EF-D的大小为45°．        12分

（I）证明：见解析；（II）平面和平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为.

试题分析：（I）由四边形ABCD是等腰梯形，且，

可得且.

连接，可得，

从而得到四边形为平行四边形，

进一步可得平面.

（II）本题解答可有两种思路，一是向量法，二是几何法.

思路一：连接AC，MC，可得，

得到.以C为坐标原点，建立直角坐标系.

利用.求角的余弦值.

思路二：按照“一作，二证，三计算”.

过C向AB引垂线交AB于N，连接，

由平面ABCD，可得，

得到为二面角的平面角，

利用直角三角形中的边角关系计算平面和平面ABCD所成角（锐角）的余弦值.

试题解析：（I）证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，

且，

所以，又由M是AB的中点，

因此且.

连接，

在四棱柱中，

因为，

可得，

所以，四边形为平行四边形，

因此，

又平面，平面，

所以平面.

（II）解法一：

连接AC，MC，

由（I）知CD//AM且CD=AM，

所以四边形AMCD为平行四边形，

可得，

由题意，

所以为正三角形，

因此

因此.

以C为坐标原点，建立直角坐标系.

所以.

因此，

所以，，

设平面的一个法向量，

由，得，

可得平面的一个法向量.

又为平面ABCD的一个法向量，

因此.

所以平面和平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为.

解法二：

由（I）知，平面平面ABCD=AB，

过C向AB引垂线交AB于N，连接，

由平面ABCD，可得，

因此为二面角的平面角，

在中，，

可得，

所以，

在中，，

所以平面和平面ABCD所成角（锐角）的余弦值为.