用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
共1400题

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题型：简答题

简答题

如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，∠DAB=60°，AB=2AD=2，PD⊥底面ABCD，且PD=AD，求：平面PAB的一个法向量．

正确答案

解：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，

从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，坐标原点，射线DA，DB，DP为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）．

设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，即，

即，因此可取．

解析

解：因为∠DAB=60°，AB=2AD，由余弦定理得BD=AD，

从而BD2+AD2=AB2，故BD⊥AD，坐标原点，射线DA，DB，DP为x、y、z轴的正半轴建立空间直角坐标系D-xyz，

则A（1，0，0），B（0，，0），P（0，0，1）．

设平面PAB的法向量为=（x，y，z），则，即，

即，因此可取．

题型：单选题

单选题

（2015秋•阜阳校级期末）若直线l的方向向量为=（1，0，2），平面α的法向量为=（-2，0，-4），则（　　）

Al∥α

Bl⊥α

Cl⊂α

Dl与α相交但不垂直

正确答案

解析

解：∵=（1，0，2），=（-2，0，4），

∴=-2，

∴∥，

因此l⊥α．

故选：B．

题型：单选题

单选题

己知，则平面ABC的一个单位法向量可表示为（　　）

A（-1，2，-2）

正确答案

解析

解：设平面ABC的一个法向量为=（x，y，z）．

则，令，解得，y=-，

∴．

故选：C．

题型：单选题

单选题

若直线l的方向向量为=（1，-1，2），平面α的法向量为=（-2，2，-4），则（　　）

Al∥α

Bl⊥α

Cl⊂α

Dl与α斜交

正确答案

解析

解：∵=（1，-1，2），=（-2，2，-4），

∴，

∴l⊥α．

故选：B．

题型：简答题

简答题

如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1，分别求出平面ABC1D1和平面A1B1CD的一个法向量，并证明这两个平面互相垂直．

正确答案

解：设D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），

A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1）．

则=（0，1，0），=（-1，0，1）．

设平面ABC1D1的一个法向量为=（x，y，z），则

•=y=0，•=-x+z=0，不妨令x=1，则z=1．

故=（1，0，1）．

设平面A1B1CD的一个法向量为，同理，可求=（-1，0，1），

∵=（1，0，1）•（-1，0，1）=-1+0+1=0，

∴．

∴平面ABC1D1⊥平面A1B1CD．

解析

解：设D为原点，分别以DA，DC，DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．

则D（0，0，0），A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D1（0，0，1），

A1（1，0，1），B1（1，1，1），C1（0，1，1）．

则=（0，1，0），=（-1，0，1）．

设平面ABC1D1的一个法向量为=（x，y，z），则

•=y=0，•=-x+z=0，不妨令x=1，则z=1．

故=（1，0，1）．

设平面A1B1CD的一个法向量为，同理，可求=（-1，0，1），

∵=（1，0，1）•（-1，0，1）=-1+0+1=0，

∴．

∴平面ABC1D1⊥平面A1B1CD．

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