用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
共1400题

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题型：单选题

单选题

若直线l的方向向量为，平面α的法向量为，能使l∥α的是（　　）

A=（1，0，0），=（-2，0，0）

B=（1，3，5），=（1，0，1）

C=（0，2，1），=（-1，0，-1）

D=（1，-1，3），=（0，3，1）

正确答案

解析

解：若l∥α，则•=0．

而A中•=-2，

B中•=1+5=6，

C中•=-1，只有D选项中•=-3+3=0．

故选D．

题型：单选题

单选题

已知A（2，1，1），B（1，1，2），C（2，0，1），则下列说法中正确的是（　　）

AA，B，C三点可以构成直角三角形

BA，B，C三点可以构成锐角三角形

CA，B，C三点可以构成钝角三角形

DA，B，C三点不能构成任何三角形

正确答案

解析

解：∵，，|AC|=1，

∴|BC|2=|AC|2+|AB|2，

∴A，B，C三点可以构成直角三角形，

故选A．

题型：单选题

单选题

一条线段AB的两端点A，B和平面α的距离分别是30cm和50cm，P为线段AB上一点，且PA：PB=3：7，则P到平面α的距离为（　　）

A36cm

B6cm

C36cm或6cm

D以上都不对

正确答案

解析

解：若A，B在平面α的同侧

∵PA：PB=3：7，

A，B和平面α的距离分别是30cm和50cm，

∴P点到平面α的距离为=36cm

若A，B在平面α的异侧

∵PA：PB=3：7，

A，B和平面α的距离分别是30cm和50cm，

∴P点到平面α的距离为=6cm

故P到平面α的距离为36cm或6cm

故选C

题型：简答题

简答题

如图，在矩形ABCD中，AB=，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．

（1）若在边BC上存在点Q，且使得PQ⊥QD，求a的取值范围；

（2）当BC边上存在唯一点Q，使PQ⊥QD时，求异面直线AQ与PD所成角的大小．

正确答案

解：（1）分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示

则B（0，，0），C（a，，0），D（a，0，0），

P（0，0，4）

设Q（t，，0），可得=（t，，-4），

=（t-a，，0）

∵PQ⊥DQ，∴•=t（t-a）+3=0，即t2-at+3=0

因此，△=a2-12≥0，解之得a；

（2）∵边BC上存在唯一的点Q，使得PQ⊥QD，

∴由（1）得a=，t=

可得Q（，，0），

=（，，0），=（，0，-4）

∴cos＜，＞===

因此，异面直线AQ与PD所成角的大小为arccos．

解析

解：（1）分别以AD、AB、AP所在直线为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，如图所示

则B（0，，0），C（a，，0），D（a，0，0），

P（0，0，4）

设Q（t，，0），可得=（t，，-4），

=（t-a，，0）

∵PQ⊥DQ，∴•=t（t-a）+3=0，即t2-at+3=0

因此，△=a2-12≥0，解之得a；

（2）∵边BC上存在唯一的点Q，使得PQ⊥QD，

∴由（1）得a=，t=

可得Q（，，0），

=（，，0），=（，0，-4）

∴cos＜，＞===

因此，异面直线AQ与PD所成角的大小为arccos．

题型：简答题

简答题

如图，直棱柱（侧棱垂直于底面的棱柱） ABC-A1B1C1，在底面ABC中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M，N分别为A1B1，A1A的中点．

（1）求的值；

（2）求证：BN⊥平面C1MN．

正确答案

解：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系C-xyz，

（1）依题意，A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2），B（0，1，0），

∴=（1，-1，2），=（0，1，2），

∴•=1×0+（-1）×1+2×2=3，

又||=，||=，

∴cos＜，＞==…6分

证明：（2）A1（1，0，2），C1（0，0，2），B1（0，1，2），N（1，0，1），

∴M（，，2），∴=（，，2），=（1，0，-1），=（1，-1，1），

∴•=×1+×（-1）+1×0=0，同理可求•=0，

∴⊥，⊥，C1M∩C1N=C1，

∴BN⊥平面C1MN…12分．

解析

解：以C为原点，CA，CB，CC1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立如图所示的坐标系C-xyz，

（1）依题意，A1（1，0，2），C（0，0，0），B1（0，1，2），B（0，1，0），

∴=（1，-1，2），=（0，1，2），

∴•=1×0+（-1）×1+2×2=3，

又||=，||=，

∴cos＜，＞==…6分

证明：（2）A1（1，0，2），C1（0，0，2），B1（0，1，2），N（1，0，1），

∴M（，，2），∴=（，，2），=（1，0，-1），=（1，-1，1），

∴•=×1+×（-1）+1×0=0，同理可求•=0，

∴⊥，⊥，C1M∩C1N=C1，

∴BN⊥平面C1MN…12分．

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