用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
共1400题

· 用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系

用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
共1400题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：单选题

单选题

直线l的方向向量=（-1，1，1），平面π的法向量为=（2，x2+x，-x），若直线l∥平面π，则实数x的值为（　　）

A-2

B-

D±

正确答案

解析

解：线面平行时，直线的方向向量垂直于平面的法向量，

∵直线l的方向向量=（-1，1，1），平面π的法向量为=（2，x2+x，-x），直线l∥平面π，

∴x2-2=0，解得x=±．

故选：D．

题型：简答题

简答题

如图，在四棱锥0-ABCD中，OA⊥底面ABCD，且底面ABCD是边长为2的正方形，且OA=2，M，N分别为OA，BC的中点．

（Ⅰ）求证：直线MN∥平面OCD；

（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．

正确答案

解：（I）分别以AB、AD、AO为x、y、z轴，建立如图坐标系

可得B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0）

∴=（2，1，-1），=（0，-2，2），=（2，0，0），=（2，0，0），=（0，1，0）

设平面OCD的法向量为=（x，y，z），

由，得

取y=1，得z=1，x=0，所以平面OCD的法向量为=（0，1，1），

∴•=2×0+1×1+（-1）×1=0，可得⊥

又∵MN⊄平面OCD，

∴直线MN∥平面OCD；

（II）设平面DMN的法向量=（x‘，y'，z'），

由=（0，-2，1），=（2，-1，0），得

，得

取x'=1，得平面DMN的法向量=（1，2，4），

∴点B到平面DMN的距离为：d=

解析

解：（I）分别以AB、AD、AO为x、y、z轴，建立如图坐标系

可得B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0）

∴=（2，1，-1），=（0，-2，2），=（2，0，0），=（2，0，0），=（0，1，0）

设平面OCD的法向量为=（x，y，z），

由，得

取y=1，得z=1，x=0，所以平面OCD的法向量为=（0，1，1），

∴•=2×0+1×1+（-1）×1=0，可得⊥

又∵MN⊄平面OCD，

∴直线MN∥平面OCD；

（II）设平面DMN的法向量=（x‘，y'，z'），

由=（0，-2，1），=（2，-1，0），得

，得

取x'=1，得平面DMN的法向量=（1，2，4），

∴点B到平面DMN的距离为：d=

题型：填空题

填空题

（2015秋•山西校级期末）△ABC的三个顶点分别是A（1，-1，2），B（5，-6，2），C（1，3，-1），则AC边上的高BD长为______．

正确答案

解析

解：∵A（1，-1，2），B（5，-6，2），C（1，3，-1），

∴=（4，-5，0），=（0，4，-3），

∵点D在直线AC上，

∴设=λ=（0，4λ，-3λ），

由此可得==（0，4λ，-3λ）-（4，-5，0）=（-4，4λ+5，-3λ），

又∵⊥，

∴•=-4×0+（4λ+5）×4+（-3λ）×（-3）=0，解得λ=．

因此=（-4，4λ+5，-3λ）=（-4，，），

可得||==5

故答案为：5

题型：单选题

单选题

若△ABC中，∠C=90°，A（1，2，-3k），B（-2，1，0），C（4，0，-2k），则k的值为（　　）

B-

D±

正确答案

解析

解：∵A（1，2，-3k），B（-2，1，0），C（4，0，-2k），

∴=（3，-2，k），=（6，-1，-2k）

∵△ABC中，∠C=90°

∴•=（3，-2，k）•（6，-1，-2k）=18+2-2k2=0

解得k=

故选D．

题型：简答题

简答题

如图，在四棱锥O-ABCD中，OA⊥底面ABCD，底面ABCD是边长为2的正方形，OA=2，M、N、Q分别为OA、BC、CD的中点．

（Ⅰ）证明：DN⊥平面OAQ；

（Ⅱ）求点B到平面DMN的距离．

正确答案

解：（Ⅰ）由题意，可知AO，AB，AD两两垂直，于是可如图建立空间直角坐标系，从而可得以下各点的坐标：A（0，0，0），B（2，0，0），D（0，2，0），O（0，0，2），M（0，0，1），N（2，1，0），Q（1，2，0），

∵．∴．即AQ⊥DN．

又知OA⊥DN，∴DN⊥平面OAQ．

（Ⅱ）设平面DMN的法向量为，

由．得即，

令x=1，得平面DMN的法向量，

∴点B到平面DMN的距离．

解析

∵．∴．即AQ⊥DN．

又知OA⊥DN，∴DN⊥平面OAQ．

（Ⅱ）设平面DMN的法向量为，

由．得即，

令x=1，得平面DMN的法向量，

∴点B到平面DMN的距离．

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

百度题库 > 高考 > 数学 > 用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系

扫码查看完整答案与解析