- 用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
- 共1400题
已知:求证:
。
正确答案
证明见解析
本试题主要考查了线面垂直的判定问题。利用定义作图说明得到。
证明:内任取一直线m,
,a
m,即a,m成直角。
b,m成直角, b
m,由m的任意性得
。考核线面垂直的判定与性质中难题
在四棱锥中,
底面
,
,
,
,
,
是
的中点.
(1) 证明:;
(2) 证明:平面
;
(3) 求二面角的余弦值.
正确答案
(I)证明略 (II)证明略 (III)二面角的余弦值为
.
本试题主要考查了空间立体几何中线线的垂直关系以及二面角的平面角的求解, 和线面垂直的判定定理的综合运用。
(1)根据已知中线面的垂直的性质定理来判定线线垂直。
(2)利用线面得到线线垂直,再结合线线得到线面的垂直的判定。
(3)建立空间直角坐标系,来表示平面的法向量,进而求解二面角的平面角的求解的综合运用。
(本小题满分16分)如图,正四棱锥P-ABCD中,O是底面正方形的中心,E是PC的中点,求证
(1)PA∥平面BDE
(2)平面PAC 平面BDE
正确答案
略
如图,已知直四棱柱的底面是直角梯形,
,
,
,
分别是棱
,
上的动点,且
,
,
.
(Ⅰ)证明:无论点怎样运动,四边形
都为矩形;
(Ⅱ)当时,求几何体
的体积。
正确答案
(Ⅰ)在直四棱柱中,
,
∵,∴
, ---------------------------------------2分
又∵平面平面
,平面
平面
,
平面平面
,
∴,∴四边形
为平行四边形,-----------------4分
∵侧棱底面
,又
平面
内,
∴,∴四边形
为矩形; -----------------------------5分
(Ⅱ)证明:连结,∵四棱柱
为直四棱柱,
∴侧棱底面
,又
平面
内,∴
, -------6分
在中,
,
,则
; ---------------7分
在中,
,
,则
; -------------8分
在直角梯形中,
;
∴,即
,
又∵,∴
平面
; ---------------10分
由(Ⅰ)可知,四边形为矩形,且
,
,
∴矩形的面积为
,
∴几何体的体积为
略
已知:a,b是两条异面直线,a^a,b^b,a∩b=,AB是a,b公垂线,交a于A,交b于B
求证:AB∥
正确答案
证明见解析
证明方法一:(利用线面垂直的性质定理)
过A作∥b,则a,
可确定一平面γ
∵AB是异面垂线的公垂线,
即AB^a,AB^b
∴AB^
∴AB^γ
∵a^α,b^β,a∩b=
∴^a,
^b ∴
^
∴^γ ∴AB∥
证明方法二:(利用同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行)
∵AB是异面直线a,b的公垂线,过AB与a作平面γ,γ∩a=m
∵a^a ∴a^m
又a^AB,ABÌγ
∴m∥AB
又过AB作平面g,g∩β=n
同理:n∥AB
∴m∥n,于是有m∥β
又a∩b= ∴m∥
∴AB∥
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