- 用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
- 共1400题
(12分)P是平行四边形ABCD所在平面外一点,Q是PA的中点,求证PC//平面BDQ
正确答案
略
如图,四棱锥V-ABCD中,∠BCD=∠BAD=90°,又∠BCV=∠BAV=90°,
求证:VD⊥AC;
正确答案
见解析
∠BCD=∠BAD=90°BC⊥CD,BA⊥AD
∠BCV=∠BAV=90°BC⊥CV,BA⊥AV
∴BC⊥平面VCD,BA⊥平面VAD
∴BC⊥VD,BA⊥VD
∴VD⊥平面ABC,∴VD⊥AC
已知SA、SB、SC是共点于S的且不共面的三条射线,∠BSA=∠ASC=45°,∠BSC=60°,求证:平面BSA⊥平面SAC
正确答案
先作二面角B-SA-C的平面角,根据给定的条件,在棱S上取一点P,分别是在两个平面内作直线与棱垂直
证明:在SA上取一点P
过P作PR⊥SA交SC于R
过P作PQ⊥SA交SB于Q
∴∠QPR为二面角B-SA-C的平面角设PS=a
∵∠PSQ=45°,∠SPQ=90°
∴PQ=a,SQ=a
同理PR= a,SR= a
∵∠PSQ=60°,SR=SQ= a
∴ΔRSQ为正三角形则RQ= a
∵PR2+PQ2=2a2=QR2
∴∠QPQ=90°
∴二面角B-SA-C为90°
∴平面BSA⊥平面SAC
给出下列四个命题:
①过平面外一点,作与该平面成角的直线一定有无穷多条。
②一条直线与两个相交平面都平行,则它必与这两个平面的交线平行;
③对确定的两条异面直线,过空间任意一点有且只有一个平面与这两条异面直线都平行;
④对两条异面的直线,都存在无穷多个平面与这两条直线所成的角相等;
其中正确的命题序号为
正确答案
②④
解:1中,成90度角的时候,就只有一条,因此错误。2中是线面平行的性质定理,显然成立。3中,有无数个平面与两个异面直线都平行。4中,利用等角定理,可知成立。
(1)平面是否垂直于平面
?
(2)求三棱锥的体积.
正确答案
(1)平面垂直于平面
(2)
(1)证明:因为平面⊥平面
, 平面
∩平面
=
,
又,所以,
⊥平面
,∴
…………6分
又,所以△
是等腰直角三角形,
且, 即
………………7分
又, ∴
⊥平面
, …………8分
又平面
,
所以平面平面
…………………9分
(2)取的中点M,连结
,
,
又平面⊥平面
, 平面
∩平面
=
,
, ……………11分
…………14分
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