用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
共1400题

· 用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系

用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
共1400题

热门试卷

X 查看更多试卷

题型：简答题

简答题

如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为A1B1、B1C1、C1D1的中点．

（1）求异面直线AG与BF所成角的余弦值；

（2）求证：AG∥平面BEF；

（3）试在棱BB1上找一点M，使DM⊥平面BEF，并证明你的结论．

正确答案

解：（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别作为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B（1，1，0），，，，

∴，，

∴

故异面直线AG与BF所成角的余弦值为．

（2）∵，，

而，∴，

故与平面BEF共面，

又因为AG不在平面BEF内，

∴AG∥平面BEF．

（3）设M（1，1，m），则

由，

∴，

所以M为棱BB1的中点时，DM⊥平面BEF．

解析

解：（1）以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别作为x轴，y轴和z轴建立空间直角坐标系，

则A（1，0，0），B（1，1，0），，，，

∴，，

∴

故异面直线AG与BF所成角的余弦值为．

（2）∵，，

而，∴，

故与平面BEF共面，

又因为AG不在平面BEF内，

∴AG∥平面BEF．

（3）设M（1，1，m），则

由，

∴，

所以M为棱BB1的中点时，DM⊥平面BEF．

题型：简答题

简答题

如图，在长方体OAEB-O1A1E1B1中，OA=3，OB=4，OO1=2，点P在棱AA1上，且AP=2PA1，点S在棱BB1上，且SB1=2BS，点Q、R分别是O1B1、AE的中点，求证：PQ∥RS．

正确答案

证明：如图，建立空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（0，4，0），O1（0，0，2），

A1（3，0，2），B1（0，4，2），E（3，4，0），

∵AP=2PA1，∴=2=，

即=（0，0，2）=（0，0，），∴P（3，0，）

同理可得，Q（0，2，2），R（3，2，0），S（0，4，），

∴=（-3，2，）=，

∴，

∵R∉PQ，

∴PQ∥RS

解析

证明：如图，建立空间直角坐标系，则A（3，0，0），B（0，4，0），O1（0，0，2），

A1（3，0，2），B1（0，4，2），E（3，4，0），

∵AP=2PA1，∴=2=，

即=（0，0，2）=（0，0，），∴P（3，0，）

同理可得，Q（0，2，2），R（3，2，0），S（0，4，），

∴=（-3，2，）=，

∴，

∵R∉PQ，

∴PQ∥RS

题型：简答题

简答题

如图，PD垂直正方形ABCD所在平面，AB=2，E是PB的中点，cos＜，＞=．

（1）建立适当的空间坐标系，写出点E的坐标；

（2）在平面PAD内求一点F，使EF⊥平面PCB．

正确答案

解：（1）以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）．

设P（0，0，2m），则E（1，1，m）．

∴=（-1，1，m），=（0，0，2m），

∴cos＜，＞==，解得m=1．

∴点E坐标是（1，1，1）．

（2）∵F∈平面PAD，∴可设F（x，0，z）⇒=（x-1，-1，z-1）．

∵EF⊥平面PCB，∴⊥⇒（x-1，-1，z-1）•（2，0，0）=0⇒x=1．

∵⊥，∴（x-1，-1，z-1）•（0，2，-2）=0⇒z=0．

∴点F的坐标是（1，0，0），即点F是AD的中点．

解析

解：（1）以DA、DC、DP所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间坐标系，则A（2，0，0），B（2，2，0），C（0，2，0）．

设P（0，0，2m），则E（1，1，m）．

∴=（-1，1，m），=（0，0，2m），

∴cos＜，＞==，解得m=1．

∴点E坐标是（1，1，1）．

（2）∵F∈平面PAD，∴可设F（x，0，z）⇒=（x-1，-1，z-1）．

∵EF⊥平面PCB，∴⊥⇒（x-1，-1，z-1）•（2，0，0）=0⇒x=1．

∵⊥，∴（x-1，-1，z-1）•（0，2，-2）=0⇒z=0．

∴点F的坐标是（1，0，0），即点F是AD的中点．

题型：填空题

填空题

（2014春•溧阳市期末）已知l∥α，且l的方向向量为（2，m，1），平面α的法向量为，则m=______．

正确答案

-8

解析

解：∵l∥α，且l的方向向量为（2，m，1），平面α的法向量为，

∴向量为（2，m，1）与平面α的法向量垂直

则（2，m，1）=2+m+2=0

解得m=-8

故答案为：-8

题型：简答题

简答题

如图所示，在四棱锥P-ABCD中，PC⊥平面ABCD，PC=2，在四边形ABCD中，∠B=∠C=90°，AB=4，CD=1，点M在PB上，PB=4PM，PB与平面ABCD成30°的角．

（1）求证：CM∥平面PAD；

（2）点C到平面PAD的距离．

正确答案

解：以点C为空间直角坐标系的坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建如图所示的空间直角坐标系C-xyz，

（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD成的角，∴∠PBC=30°．

∵PC=2，∴BC=2，PB=4，∴D（0，1，0），B （2，0，0），A（2，4，0），P（0，0，2），

M（，0 ）．∴=（0，-1，2），=（2，3，0），=（，0，）．

设平面PAD的法向量为=（x，y，1），由 =0，且 =0 可得 x=-，y=2，

∴=（-，2，1）．又因为 •=（-，2，1）•（，0，）=0，

∴⊥，又因为 CM不在平面PAD内，∴CM∥平面PAD．

取AP的中点E，则 E（，2，1），=（-，2，1）因为PB=AB，∴⊥．

又因为 •=（-，2，1）•（2，3，0）=0，∴⊥，∴⊥平面PAD；

∴BE平面PAD，又因为 BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．

（2）由上面得 ⊥平面PAD，∴ 是平面PAD的法向量，

∴平面PAD的单位法向量为 ==，又因为 =（0，1，0），

∴点C到平面PAD的距离为 d=|•|=|•（0，1，0）|=．

解析

解：以点C为空间直角坐标系的坐标原点，CB为x轴，CD为y轴，CP为z轴建如图所示的空间直角坐标系C-xyz，

（1）证明：∵PC⊥平面ABCD，∴∠PBC为PB与平面ABCD成的角，∴∠PBC=30°．

∵PC=2，∴BC=2，PB=4，∴D（0，1，0），B （2，0，0），A（2，4，0），P（0，0，2），

M（，0 ）．∴=（0，-1，2），=（2，3，0），=（，0，）．

设平面PAD的法向量为=（x，y，1），由 =0，且 =0 可得 x=-，y=2，

∴=（-，2，1）．又因为 •=（-，2，1）•（，0，）=0，

∴⊥，又因为 CM不在平面PAD内，∴CM∥平面PAD．

取AP的中点E，则 E（，2，1），=（-，2，1）因为PB=AB，∴⊥．

又因为 •=（-，2，1）•（2，3，0）=0，∴⊥，∴⊥平面PAD；

∴BE平面PAD，又因为 BE⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．

（2）由上面得 ⊥平面PAD，∴ 是平面PAD的法向量，

∴平面PAD的单位法向量为 ==，又因为 =（0，1，0），

∴点C到平面PAD的距离为 d=|•|=|•（0，1，0）|=．

继续学习学习下一知识点

下一知识点 : 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题

百度题库 > 高考 > 数学 > 用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系

扫码查看完整答案与解析