用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
共1400题

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题型：填空题

填空题

已知l∥α，且l的方向向量为（2，-8，1），平面α的法向量为（1，y，2），则y=______．

正确答案

解析

解：∵l∥α，

∴l的方向向量（2，-8，1）与平面α的法向量（1，y，2）垂直，

∴2×1-8×y+2=0，

解得y=．

故答案为．

题型：简答题

简答题

如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E在棱AB上移动．

（Ⅰ）证明：D1E⊥A1D；

（Ⅱ）当E为AB的中点时，求异面直线AC与D1E所成角的余弦值；

（Ⅲ）AE等于何值时，二面角D1-EC-D的大小为．

正确答案

解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A=（1，0，0），C（0，2，0）．…（2分）

（Ⅰ）因为=（1，0，1），=（1，x，-1）

∴•=1+0-1=0，所以D1E⊥A1D；

（Ⅱ）因为E为AB中点，则E（1，1，0），

从而=（1，1，-1），=（-1，2，0），

设AC与D1E所成的角为θ

则…（9分）

（Ⅲ）设平面D1EC的法向量为=（a，b，c），

∵=（1，x-2，0），=（0，2，-1），=（0，0，1）

由，有，

令b=1，从而c=2，a=2-x

∴=（2-x，1，2），…..（12分）

由题意，cos===．

∴x=2+（不合题意，舍去），或x=2-．

∴当AE=2-时，二面角D1-EC-D的大小为．

解析

解：以D为坐标原点，直线DA，DC，DD1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

设AE=x，则A1（1，0，1），D1（0，0，1），E（1，x，0），A=（1，0，0），C（0，2，0）．…（2分）

（Ⅰ）因为=（1，0，1），=（1，x，-1）

∴•=1+0-1=0，所以D1E⊥A1D；

（Ⅱ）因为E为AB中点，则E（1，1，0），

从而=（1，1，-1），=（-1，2，0），

设AC与D1E所成的角为θ

则…（9分）

（Ⅲ）设平面D1EC的法向量为=（a，b，c），

∵=（1，x-2，0），=（0，2，-1），=（0，0，1）

由，有，

令b=1，从而c=2，a=2-x

∴=（2-x，1，2），…..（12分）

由题意，cos===．

∴x=2+（不合题意，舍去），或x=2-．

∴当AE=2-时，二面角D1-EC-D的大小为．

题型：单选题

单选题

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，若E为A1C1中点，则直线CE垂直于（　　）

AAC

BBD

CA1D

DA1A

正确答案

解析

解：以A为原点，AB、AD、AA1所在直线分别为x，y，z轴建空间直角坐标系，设正方体棱长为1，

则A（0，0，0），C（1，1，0），B（1，0，0），

D（0，1，0），A1（0，0，1），E（，，1），

∴=（-，-，1），

=（1，1，0），=（-1，1，0），

=（0，1，-1），=（0，0，-1），

显然•=-+0=0，

∴⊥，即CE⊥BD．

故选：B．

题型：简答题

简答题

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=，BC=1，PA=2，E为PD的中点．

（Ⅰ）求点C到平面PBD的距离；

（Ⅱ）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥面PAC，并求出N点到AB和AP的距离．

正确答案

解：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系，则A、B、C、D、P、E的坐标为A（0，0，0）、B（，0，0）、C（，1，0）、D（0，1，0）、P（0，0，2）、E（0，，1），从而．…（2分）

设平面PBD的一个法向量为，则

即

令z=1，得=（，2，1）

所以点C到平面PBD的距离…（6分）

（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，

由NE⊥面PAC可得，即

∴x=，z=1 …10 分

即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1， …（12分）

解析

设平面PBD的一个法向量为，则

即

令z=1，得=（，2，1）

所以点C到平面PBD的距离…（6分）

（Ⅱ）由于N点在侧面PAB内，故可设N点坐标为（x，O，z），则，

由NE⊥面PAC可得，即

∴x=，z=1 …10 分

即N点的坐标为，从而N点到AB、AP的距离分别为1， …（12分）

题型：简答题

简答题

四棱锥P-ABCD的底面ABCD是平行四边形，=（-1，2，1），=（0，-2，3），═（8，3，2），

（1）求证：PA⊥底面ABCD；

（2）求PC的长．

正确答案

证明：（1）∵=（-1，2，1），=（0，-2，3），═（8，3，2），

∴，，

即AP⊥AB且AP⊥AD，

又∵AB∩AD=A

∴AP⊥平面ABCD；

（2）∵=（-1，2，1），=（0，-2，3），═（8，3，2），

∴，，

∴．

解析

证明：（1）∵=（-1，2，1），=（0，-2，3），═（8，3，2），

∴，，

即AP⊥AB且AP⊥AD，

又∵AB∩AD=A

∴AP⊥平面ABCD；

（2）∵=（-1，2，1），=（0，-2，3），═（8，3，2），

∴，，

∴．

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