用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系_章节学习

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题型：单选题

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单选题

在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O是底面ABCD的中心，M、N分别是棱DD1、D1C1的中点，则直线OM（　　）

A和AC、MN都垂直

B垂直于AC，但不垂直于MN

C垂直于MN，但不垂直于AC

D与AC、MN都不垂直

正确答案

A

解析

解：以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系．设正方体的棱长为2a，则D（0，0，0）、D1（0，0，2a）、M（0，0，a）、A（2a，0，0）、C（0，2a，0）、O（a，a，0）、N（0，a，2a）．

∴=（-a，-a，a），=（0，a，a），=（-2a，2a，0）．

∴•=0，•=0，

∴OM⊥AC，OM⊥MN．

故选A．

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题型：填空题

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填空题

在空间坐标系中，已知直角三角形ABC的三个顶点为A（-3，-2，1）、B（-1，-1，-1）、C（-5，x，0），则x的值为______．

正确答案

0或9

解析

解：∵A（-3，-2，1）、B（-1，-1，-1）、C（-5，x，0），

∴，，

分三种情况：

①A为直角，，∴-4+x+2+2=0，∴x=0

②B为直角，，∴-8+x+1-2=0，∴x=9

③C为直角，，∴8+（x+1）（x+2）-1=0，x2+3x+9=0，方程无解

综上，x的值为0或9

故答案为：0或9

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题型：简答题

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简答题

如图，平面PAD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，∠PAD=90°，且PA=AD=2，E、F、G分别是线段PA、PD、CD的中点．

（1）求证：PB∥平面EFG；

（2）求异面直线EG与BD所成的角；

（3）在线段CD上是否存在一点Q，使得点A到平面EFQ的距离为．若存在，求出CQ的值；若不存在，请说明理由．

正确答案

解：（1）证明：取AB中点H，连接GH，HE，

∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，

∴GH∥AD∥EF，

∴E，F，G，H四点共面．…（1分）

又H为AB中点，

∴EH∥PB．…（2分）

又EH⊂面EFG，PB⊄平面EFG，

∴PB∥面EFG．…（3分）

（2）解：取BC的中点M，连接GM、AM、EM，则GM∥BD，

∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角．…（4分）

在Rt△MAE中，，

同理，又，

∴在Rt△MGE中，…（7分）

故异面直线EG与BD所成的角为．…（8分）

（3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件．

过点Q作QR⊥AB于R，连接RE，则QR∥AD．

∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，

∴AD⊥AB，AD⊥PA，

又AB∩PA=A，

∴AD⊥平面PAB．

又∵E，F分别是PA，PD中点，

∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB

又EF⊂面EFQ，

∴面EFQ⊥平面PAB．

过A作AT⊥ER于T，则AT⊥面EFQ，

∴AT就是点A到平面EFQ的距离．…（12分）

设CQ=x（0≤x≤2），则BR=CQ=x，AR=2-x，AE=1，

在Rt△EAR中，

解得．

故存在点Q，当时，点A到平面EFQ的距离为…（14分）

解析

解：（1）证明：取AB中点H，连接GH，HE，

∵E，F，G分别是线段PA、PD、CD的中点，

∴GH∥AD∥EF，

∴E，F，G，H四点共面．…（1分）

又H为AB中点，

∴EH∥PB．…（2分）

又EH⊂面EFG，PB⊄平面EFG，

∴PB∥面EFG．…（3分）

（2）解：取BC的中点M，连接GM、AM、EM，则GM∥BD，

∴∠EGM（或其补角）就是异面直线EG与BD所成的角．…（4分）

在Rt△MAE中，，

同理，又，

∴在Rt△MGE中，…（7分）

故异面直线EG与BD所成的角为．…（8分）

（3）假设在线段CD上存在一点Q满足题设条件．

过点Q作QR⊥AB于R，连接RE，则QR∥AD．

∵ABCD是正方形，△PAD是直角三角形，且PA=AD=2，

∴AD⊥AB，AD⊥PA，

又AB∩PA=A，

∴AD⊥平面PAB．

又∵E，F分别是PA，PD中点，

∴EF∥AD，∴EF⊥平面PAB

又EF⊂面EFQ，

∴面EFQ⊥平面PAB．

过A作AT⊥ER于T，则AT⊥面EFQ，

∴AT就是点A到平面EFQ的距离．…（12分）

设CQ=x（0≤x≤2），则BR=CQ=x，AR=2-x，AE=1，

在Rt△EAR中，

解得．

故存在点Q，当时，点A到平面EFQ的距离为…（14分）

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题型：单选题

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单选题

如图，在空间直角坐标系中，正方体棱长为2，点E是棱AB的中点，点F（0，y，z）是正方体的面AA1D1D上点，且CF⊥B1E，则点F（0，y，z）满足方程（　　）

Ay-z=0

B2y-z-1=0

C2y-z-2=0

Dz-1=0

正确答案

D

解析

解：E（1，0，0），B1（2，0，2），C（2，2，0）

所以

因为CF⊥B1E，所以

即：2-2z=0，即：z=1

故选D．

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题型：简答题

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简答题

在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为A1D1和CC1的中点

（1）求证：EF∥平面A1C1B；

（2）求异面直线EF与AB所成角的余弦值．

正确答案

（1）证明：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知得D（0，0，0）、A1（2，0，2）、B（2，2，0）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、C1（0，2，2）、D1（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．

取BC1中点G，则G（1，2，1），=（-1，2，-1），

又=（-1，2，-1），∴=，

∴与共线，∴EF∥A1G，

∵A1G⊂平面A1C1B，EF⊄平面A1C1B，

∴EF∥平面A1C1B；

（2）解：∵=（0，2，0），=（-1，2，-1），

∴cos＜，＞===

∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为．

解析

（1）证明：如图分别以DA、DC、DD1所在的直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系D-xyz，由已知得D（0，0，0）、A1（2，0，2）、B（2，2，0）、A（2，0，0）、C（0，2，0）、C1（0，2，2）、D1（0，0，2）、E（1，0，2）、F（0，2，1）．

取BC1中点G，则G（1，2，1），=（-1，2，-1），

又=（-1，2，-1），∴=，

∴与共线，∴EF∥A1G，

∵A1G⊂平面A1C1B，EF⊄平面A1C1B，

∴EF∥平面A1C1B；

（2）解：∵=（0，2，0），=（-1，2，-1），

∴cos＜，＞===

∴异面直线EF与AB所成角的余弦值为．

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