- 用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
- 共1400题
（1）求证：BC⊥平面PAB；
（2）求面PCD与面PAB所成锐二面角的正切值；
（3）在PC上是否存在一点E，使得DE∥平面PAB？若存在，请找出；若不存在，说明理由．
正确答案
∴BC⊥AB
∵PA⊥平面ABCD
∴BC⊥PA，又PA∩AB=A
∴BC⊥平面PAB；
（2）解：延长BA、CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH
由（1）及AD∥BC知：AD⊥平面PAQ
∴AD⊥PQ且AH⊥PQ
所以PQ⊥平面HAD，即PQ⊥HD．
所以∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角
∵PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1
∴
∴
∴
所以面PCD与面PAB所成二面角的正切值为
（3）解：存在．
在BC上取一点F，使BF=1，则DF∥AB．由条件知，PC=3
所以，平面EFD∥平面PAB，
因为DE⊂平面EFD，
所以DE∥平面PAB
解析
∴BC⊥AB
∵PA⊥平面ABCD
∴BC⊥PA，又PA∩AB=A
∴BC⊥平面PAB；
（2）解：延长BA、CD交于Q点，过A作AH⊥PQ，垂足为H，连DH
由（1）及AD∥BC知：AD⊥平面PAQ
∴AD⊥PQ且AH⊥PQ
所以PQ⊥平面HAD，即PQ⊥HD．
所以∠AHD是面PCD与面PBA所成的二面角的平面角
∵PA=AB=BC=3，梯形上底AD=1
∴
∴
∴
所以面PCD与面PAB所成二面角的正切值为
（3）解：存在．
在BC上取一点F，使BF=1，则DF∥AB．由条件知，PC=3
所以，平面EFD∥平面PAB，
因为DE⊂平面EFD，
所以DE∥平面PAB
已知过点（0，1）的直线l：xtanα-y-3tanβ=0的一个法向量为（2，-1），则tan（α+β）=______．
正确答案
1
解析
解：∵过点（0，1）的直线l：xtanα-y-3tanβ=0的一个法向量为（2，-1），
∴-1-3tanβ=0，
∴
∴tan（α+β）=
故答案为：1．
设
正确答案
解析
解：①设与
且|
解得
∴
②同时垂直于
则
即
解得：
∴
故答案为：
①求点E、F的坐标；
②求证：EF∥ACD1．
正确答案
（1）解：由题意，AD=AA1=2，AB=6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点
∴E（1，0，2），F（0，3，2）
（2）证明：∵A（2，0，0），C（0，6，0）
∴
∵E（1，0，2），F（0，3，2）
∴
∴
∴AC∥EF
∵EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，
∴EF∥平面ACD1．
解析
（1）解：由题意，AD=AA1=2，AB=6，E、F分别为A1D1、D1C1的中点
∴E（1，0，2），F（0，3，2）
（2）证明：∵A（2，0，0），C（0，6，0）
∴
∵E（1，0，2），F（0，3，2）
∴
∴
∴AC∥EF
∵EF⊄平面ACD1，AC⊂平面ACD1，
∴EF∥平面ACD1．
已知向量
正确答案
解析
解：∵向量
∴k
∵k
则（k
解得k=
故答案为：
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