用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
共1400题

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题型：填空题

填空题

（2015春•淮安校级期末）已知A，B，C的坐标分别为（0，1，0），（-1，0，-1），（2，1，1），点P的坐标是（x，0，y），若PA⊥平面ABC，则点P的坐标是______．

正确答案

（-1，0，2）

解析

解：根据题意，可得

=（-1，-1，-1），=（2，0，1），=（x，-1，y）

∵PA⊥平面ABC，

∴⊥且⊥，可得，

解之得x=-1，y=2，可得P的坐标是（-1，0，2）．

故答案为：（-1，0，2）．

题型：简答题

简答题

已知四棱台ABCD-A1B1C1D1（如图）中，底面ABCD是正方形，且DD1⊥底面ABCD，AB=2A1B1=2DD1=2a．

（1）求异面直线AB1与DD1所成角的余弦值；

（2）试在平面ADD1A1中确定一个点F，使得FB1⊥平面BCC1B1．

正确答案

解：以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（2a，0，0），B1（a，a，a），D1（0，0，a），B（2a，2a，0），C（0，2a，0），C1（0，a，a）

（1）∵=（-a，a，a），=（0，0，a），

∴cos，

即直线AB1与DD1所成角的余角的余弦值为

（2）设F（x，0，z），

∵=（-a，-a，a），=（-2a，0，0），=（a-x，a1，a-z），

由FB1⊥平面BCC1B1得即得

∴F（a，0，0），即F为DA的中点．

解析

解：以D为原点，DA、DC、DD1所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，

则D（0，0，0），A（2a，0，0），B1（a，a，a），D1（0，0，a），B（2a，2a，0），C（0，2a，0），C1（0，a，a）

（1）∵=（-a，a，a），=（0，0，a），

∴cos，

即直线AB1与DD1所成角的余角的余弦值为

（2）设F（x，0，z），

∵=（-a，-a，a），=（-2a，0，0），=（a-x，a1，a-z），

由FB1⊥平面BCC1B1得即得

∴F（a，0，0），即F为DA的中点．

题型：填空题

填空题

已知向量，若，则x=______；若则x=______．

正确答案

-6

解析

解：若，则 •=．

若，则 ==，

∴x=-6，

故答案为，-6．

题型：简答题

简答题

如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4．

（1）求证：AC⊥BC1；

（2）在AB上是否存在点D，使得AC1∥平面CDB1，若存在，确定D点位置并说明理由，若不存在，说明理由．

正确答案

（1）证明：在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AC，BC，CC1两两垂直，以C为坐标原点，直线CA，CB，CC1分别为x轴y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0），B1（0，4，4）．

∵=（-3，0，0），=（0，-4，4），∴•=0，即⊥，

∴AC⊥BC1．

（2）解：假设在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1，则=λ=（-3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，则D（3-3λ，4λ，0），=（3-3λ，4λ-4，-4），

又=（0，-4，-4），=（-3，0，4），AC1∥平面CDB1，所以存在实数m，n，使=m+n成立，

∴m（3-3λ）=-3，m（4λ-4）-4n=0，-4m-4n=4，

所以λ=，所以在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1，且D为AB的中点．

解析

∵=（-3，0，0），=（0，-4，4），∴•=0，即⊥，

∴AC⊥BC1．

（2）解：假设在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1，则=λ=（-3λ，4λ，0），其中0≤λ≤1，则D（3-3λ，4λ，0），=（3-3λ，4λ-4，-4），

又=（0，-4，-4），=（-3，0，4），AC1∥平面CDB1，所以存在实数m，n，使=m+n成立，

∴m（3-3λ）=-3，m（4λ-4）-4n=0，-4m-4n=4，

所以λ=，所以在AB上存在点D使得AC1∥平面CDB1，且D为AB的中点．

题型：填空题

填空题

（2015秋•漳州校级期末）若和分别为平面α和平面β的一个法向量，且α⊥β，则实数λ=______．

正确答案

解析

解：∵α⊥β，

∴，

∴=λ-6+3=0，

解得λ=3．

故答案为：3．

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