用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
共1400题

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题型：简答题

简答题

如图，四边形ABCD是直角梯形，∠ABC=90°，SA⊥平面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=，求平面SCD的法向量．

正确答案

解：由题意，以A为原点，分别以AD、AB、AS所在直线为x、y、z轴建立坐标系，

可得S（0，0，1），D（，0，0），C（1，1，0），

∴=（1，1，-1），=（，0，-1），

设平面SCD的法向量为=（x，y，z），

则，解得，

取z=1可得平面SCD的一个法向量为=（2，-1，1），

解析

解：由题意，以A为原点，分别以AD、AB、AS所在直线为x、y、z轴建立坐标系，

可得S（0，0，1），D（，0，0），C（1，1，0），

∴=（1，1，-1），=（，0，-1），

设平面SCD的法向量为=（x，y，z），

则，解得，

取z=1可得平面SCD的一个法向量为=（2，-1，1），

题型：单选题

单选题

（2014秋•和县校级期末）在空间四边形ABCD的边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF与HG交于点M，那么（　　）

AM一定在直线AC上

BM一定在直线BD上

CM可能在直线AC上，也可能在直线BD上

DM既不在直线AC上，也不在直线BD上

正确答案

解析

解：由于ABCD是空间四边形，故AB，BC确定平面ABC，CD，DA确定平面ACD．

∵E∈AB，F∈BC，G∈CD，H∈DA

∴EF⊂面ABC，GH⊂面ACD∵EF∩GH=M∴M∈面ABC，M∈面ACD

∵面ABC∩面ACD=AC

∴M∈AC

故选A．

题型：填空题

填空题

若直线l与直线2x+5y-1=0垂直，则直线l的方向向量为______．

正确答案

（2，5）

解析

解：直线l与直线2x+5y-1=0垂直，

所以直线l：5x-2y+k=0，

所以直线l的方向向量为：（2，5）．

故答案为：（2，5）

题型：单选题

单选题

在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为（　　）

正确答案

解析

解：因为A1B1∥EF，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，

即是A1到D1E的距离，D1E=，由三角形面积可得所求距离为，

故选：D

题型：填空题

填空题

如图，在三棱锥P-ABC中，PA、PB、PC两两垂直，且PA=3，PB=2，PC=2．设M是底面ABC内一点，定义f（M）=（m，n，p），其中m、n、p分别是三棱锥M-PAB、三棱锥M-PBC、三棱锥M-PCA的体积．若f（M）=（，x，y），则的最小值是______．

正确答案

解析

解：∵PA、PB、PC两两垂直，且PA=3．PB=2，PC=2．

∴V P-ABC=3×2×2=2=x+y，

即x+y=，所以=（5+）≥3+；

当且仅当时=成立；

故答案为：3+；

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