用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
共1400题

用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
共1400题

热门试卷

题型：填空题

填空题

如图，边长为a的正△ABC的中线AF与中位线DE相交于G，已知△A′ED是△AED绕DE旋转过程中的一个图形，现给出下列命题：①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF上；②三棱锥A′-FED的体积有最大值；③恒有平面A′GF⊥平面BCED；

④异面直线A′E与BD不可能互相垂直；⑤异面直线FE与A′D所成角的取值范围是．其中正确命题的序号是______．（将正确命题的序号都填上）

正确答案

①②③⑤

解析

解：过A‘作A'H⊥面ABC，垂足为H

∵△ABC为正三角形且中线AF与中位线DE相交

∴AG⊥DE A'G⊥DE 又∵AG∩A'G=G

∴DE⊥面A'GA

∵DE⊂面ABC∴面A'GA⊥面ABC 且面A'GA∩面ABC=AF

∴H在AF上，故①对③对．

S三棱锥A′-FED=•A'H

∵底面面积是个定值，∴当A'H为A'G时，三棱锥的面积最大，故②对

由异面直线所成角的定义知：异面直线FE与A′D所成角的取值范围是，故⑤对．

在△A′ED是△AED绕DE旋转的过程中异面直线A′E与BD可能互相垂直，故④不对

故答案为：①②③⑤

题型：简答题

简答题

如图，已知三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱与底面垂直，AA1=AB=AC=1，AB⊥AC，M、N分别是

CC1、BC的中点，点P在A1B1上，且满足=λ（λ∈R）．

（1）证明：PN⊥AM；

（2）当λ取何值时，直线PN与平面ABC所成的角θ最大？并求该最大角的正切值；

（3）若平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，试确定点P的位置．

正确答案

解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．

则P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，），（2分）

从而=（-λ，，-1），=（0，1，），

=（-λ）×0+×1-1×=0，

所以PN⊥AM．（3分）

（2）平面ABC的一个法向量为=（0，0，1），

则sinθ=|sin（-＜，＞）|=|cos＜，＞|

=||=（※）．（5分）

而θ∈[0，]，当θ最大时，sinθ最大，tanθ最大，θ=除外，

由（※）式，当λ=时，（sinθ）max=，（tanθ）max=2．（6分）

（3）平面ABC的一个法向量为==（0，0，1）．

设平面PMN的一个法向量为=（x，y，z），

由（1）得=（λ，-1，）．

由

解得

∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，

∴|cos＜，＞|=||==，

解得λ=-．（11分）

故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|=．（12分）

解析

解：（1）证明：如图，以AB，AC，AA1分别为x，y，z轴，建立空间直角坐标系A-xyz．

则P（λ，0，1），N（，，0），M（0，1，），（2分）

从而=（-λ，，-1），=（0，1，），

=（-λ）×0+×1-1×=0，

所以PN⊥AM．（3分）

（2）平面ABC的一个法向量为=（0，0，1），

则sinθ=|sin（-＜，＞）|=|cos＜，＞|

=||=（※）．（5分）

而θ∈[0，]，当θ最大时，sinθ最大，tanθ最大，θ=除外，

由（※）式，当λ=时，（sinθ）max=，（tanθ）max=2．（6分）

（3）平面ABC的一个法向量为==（0，0，1）．

设平面PMN的一个法向量为=（x，y，z），

由（1）得=（λ，-1，）．

由

解得

∵平面PMN与平面ABC所成的二面角为45°，

∴|cos＜，＞|=||==，

解得λ=-．（11分）

故点P在B1A1的延长线上，且|A1P|=．（12分）

题型：简答题

简答题

（1）如图，证明命题“a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥b，则a⊥c”为真．

（2）写出上述命题的逆命题，并判断其真假（不需要证明）

正确答案

证明：（1）证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n对应的方向向量分别是，则共面，

根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得，

则=

因为a⊥b，所以，

又因为a⊂α，n⊥α，

所以，

故，从而a⊥c

证法二

如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c，

∵PO⊥π，a⊂π，

∴直线PO⊥a，

又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b=P，

∴a⊥平面PAO，

又c⊂平面PAO，

∴a⊥c

（2）逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b，

逆命题为真命题

解析

证明：（1）证法一：如图，过直线b上任一点作平面α的垂线n，设直线a，b，c，n对应的方向向量分别是，则共面，

根据平面向量基本定理，存在实数λ，μ使得，

则=

因为a⊥b，所以，

又因为a⊂α，n⊥α，

所以，

故，从而a⊥c

证法二

如图，记c∩b=A，P为直线b上异于点A的任意一点，过P做PO⊥π，垂足为O，则O∈c，

∵PO⊥π，a⊂π，

∴直线PO⊥a，

又a⊥b，b⊂平面PAO，PO∩b=P，

∴a⊥平面PAO，

又c⊂平面PAO，

∴a⊥c

（2）逆命题为：a是平面π内的一条直线，b是π外的一条直线（b不垂直于π），c是直线b在π上的投影，若a⊥c，则a⊥b，

逆命题为真命题

题型：填空题

填空题

已知=（1，0，2），=（2，1，1），则平面ABC的一个法向量为______．

正确答案

（-2，3，1）

解析

解：=（1，0，2），=（2，1，1），

设平面ABC的法向量为=（x，y，z），

则，即，取x=-2，则z=1，y=3．

∴=（-2，3，1）．

故答案为：（-2，3，1）．

题型：单选题

单选题

已知=（1，-3，λ），=（2，4，-5），若⊥，则λ=（　　）

A-4

B-2

正确答案

解析

解：因为=（1，-3，λ），=（2，4，-5），并且⊥，

所以2-12-5λ=0，

解得：λ=-2．

故选B．

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