热门试卷

（Ⅰ）证明：以C为原点，分别以CB、CC1、CA为x、y、z轴建立坐标系，则由AC=BC=CC1=2，知A1（0，2，2），B1（2，2，0），B（2，0，0），C1（0，2，0），∴M（1，1，1），N（1，2，0），

∴=（2．-2，-2），=（2，0，0），=（0，1，-1），…（3分）

∴，，

∴MN⊥A1B，MN⊥CB，∴MN⊥平面A1BC；                 …（6分）

（Ⅱ）作CH⊥AB于H点，∵平面ABC⊥平面ABB1A1，∴CH⊥平面A1BA，

故平面A1BA的一个法向量为，

而平面A1BC的一个法向量为，…（9分）

∴cos=||=

∵，

∴平面AA1B与平面A1BC夹角的大小为．…（12分）

（本题满分12分）

解：假设在线段A1C1上存在一个定点P，使得D1P都

垂直于AE，如图，分别以方向为x轴，y轴，z轴

正方向，建立空间直角坐标系．

依题意可设AB=a，AA1=b，EC=t，D1（0，0，b），P（x，a-x，b），

A（a，0，0），E（0，a，t）（4分）

则有（6分）

由（8分）

求得即为A1C1中点                

∴假设成立，即线段A1C1中点P，使得D1P都垂直于AE．          （12分）

证明：（Ⅰ）建立如图所示的空间直角坐标系

设AC∩BD=N，连接NE，

则点N、E的坐标分别是（、（0，0，1），

∴=（，

又点A、M的坐标分别是

（）、（

∴=（

∴=且NE与AM不共线，

∴NE∥AM

又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，

∴AM∥平面BDF

解：（Ⅱ）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∩AD=A，

∴AB⊥平面ADF

∴为平面DAF的法向量

∵=•=0，

∴=•=0得，∴NE为平面BDF的法向量

∴cos＜＞=

∴的夹角是60°

即所求二面角A-DF-B的大小是60°

（3）设P（x，x，0），，，则

cos=||，解得或（舍去）

所以当点P为线段AC的中点时，直线PF与CD所成的角为60°．（12分）