- 用向量证明线线、线面、面面的垂直、平行关系
- 共1400题
在如图所示的几何体ABCED中,EC⊥面ABC,DB⊥面ABC,CE=CA=CB=2DB,∠ACB=90°,M为
AD的中点.(1)证明:EM⊥AB;(2)求直线BM和平面ADE所成角的正弦值.
正确答案
解:(1)证明:以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系,设DB=1,则 CE=CA=CB=2.
由于A(2,0,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1),M(1,1,),∴
=(1,1-
),
=(-2,2,0),∴
=-2+2+0=0,∴
,∴EM⊥AB.
(2)由(1)知 =(1,-1,
),
=(-2,2,1),
=(-2,0,2),
=(0,-2,1).
设面ADE的法向量为 =(x,y,z),则
,即
,
取 =(2,1,2)设直线BM和平面ADE所成角为θ,则 sinθ=|cos<
,
>=|
|=
.
解析
解:(1)证明:以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系,设DB=1,则 CE=CA=CB=2.
由于A(2,0,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1),M(1,1,),∴
=(1,1-
),
=(-2,2,0),∴
=-2+2+0=0,∴
,∴EM⊥AB.
(2)由(1)知 =(1,-1,
),
=(-2,2,1),
=(-2,0,2),
=(0,-2,1).
设面ADE的法向量为 =(x,y,z),则
,即
,
取 =(2,1,2)设直线BM和平面ADE所成角为θ,则 sinθ=|cos<
,
>=|
|=
.
如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=
,则下列结论中错误的是( )
正确答案
解析
解:A.AC⊥BE,由题意及图形知,AC⊥面DD1B1B,故可得出AC⊥BE,此命题正确,排除A选项;
B.由图形可以看出,B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等,故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确,故B是错误的;
C.EF∥平面ABCD,由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行,EF在其一面上,故EF与平面ABCD无公共点,故有EF∥平面ABCD,此命题正确,排除B选项;
D.三棱锥A-BEF的体积为定值,由几何体的性质及图形知,三角形BEF的面积是定值,A点到面DD1B1B距离是定值,故可得三棱锥A-BEF的体积为定值,此命题正确,排除D选项;
故选:B.
若直线l的方向向量为(4,2,m),平面α的法向量为(2,1,-1),且l⊥α,则m=______.
正确答案
-2
解析
解:∵l⊥α,
又∵直线l的方向向量为(4,2,m),平面α的法向量为(2,1,-1),
∴向量(4,2,m)与向量(2,1,-1)平行,
则存在实数λ使(4,2,m)=λ(2,1,-1)
即
故m=-2
故答案为:-2
已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面( )
正确答案
解析
解:∵A(9,-3,4),B(9,2,1),
∴=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),
∵yOz平面内的向量的一般形式为
∴向量∥
,可得AB∥平面yOz.
故选:C
如果直线l的方向向量是,且直线l上有一点P不在平面α上,平面α的法向量是
,那么( )
正确答案
解析
解:∵直线l的方向向量是,平面α的法向量是
,
∴=-4+0+4=0
∴直线l在平面α内或者与平面平行
又直线l上有一点P不在平面α上,
∴l∥α
故选B
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