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题型:简答题
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简答题

在如图所示的几何体ABCED中,EC⊥面ABC,DB⊥面ABC,CE=CA=CB=2DB,∠ACB=90°,M为

AD的中点.(1)证明:EM⊥AB;(2)求直线BM和平面ADE所成角的正弦值.

正确答案

解:(1)证明:以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系,设DB=1,则 CE=CA=CB=2.

由于A(2,0,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1),M(1,1,),∴=(1,1-),

=(-2,2,0),∴=-2+2+0=0,∴,∴EM⊥AB.

(2)由(1)知 =(1,-1,  ),=(-2,2,1),=(-2,0,2),=(0,-2,1).

设面ADE的法向量为  =(x,y,z),则  ,即

=(2,1,2)设直线BM和平面ADE所成角为θ,则 sinθ=|cos<>=||=

解析

解:(1)证明:以C为原点建立如图所示的空间直角坐标系,设DB=1,则 CE=CA=CB=2.

由于A(2,0,0),B(0,2,0),E(0,0,2),D(0,2,1),M(1,1,),∴=(1,1-),

=(-2,2,0),∴=-2+2+0=0,∴,∴EM⊥AB.

(2)由(1)知 =(1,-1,  ),=(-2,2,1),=(-2,0,2),=(0,-2,1).

设面ADE的法向量为  =(x,y,z),则  ,即

=(2,1,2)设直线BM和平面ADE所成角为θ,则 sinθ=|cos<>=||=

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题型: 单选题
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单选题

如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E、F,且EF=,则下列结论中错误的是(  )

AAC⊥BE

B△AEF的面积与△BEF的面积相等

CEF∥平面ABCD

D三棱锥A-BEF的体积为定值

正确答案

B

解析

解:A.AC⊥BE,由题意及图形知,AC⊥面DD1B1B,故可得出AC⊥BE,此命题正确,排除A选项;

B.由图形可以看出,B到线段EF的距离与A到EF的距离不相等,故△AEF的面积与△BEF的面积相等不正确,故B是错误的;

C.EF∥平面ABCD,由正方体ABCD-A1B1C1D1的两个底面平行,EF在其一面上,故EF与平面ABCD无公共点,故有EF∥平面ABCD,此命题正确,排除B选项;

D.三棱锥A-BEF的体积为定值,由几何体的性质及图形知,三角形BEF的面积是定值,A点到面DD1B1B距离是定值,故可得三棱锥A-BEF的体积为定值,此命题正确,排除D选项;

故选:B.

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题型:填空题
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填空题

若直线l的方向向量为(4,2,m),平面α的法向量为(2,1,-1),且l⊥α,则m=______

正确答案

-2

解析

解:∵l⊥α,

又∵直线l的方向向量为(4,2,m),平面α的法向量为(2,1,-1),

∴向量(4,2,m)与向量(2,1,-1)平行,

则存在实数λ使(4,2,m)=λ(2,1,-1)

故m=-2

故答案为:-2

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题型: 单选题
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单选题

已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面(  )

AxOy平行

BxOz平行

CyOz平行

DyOz相交

正确答案

C

解析

解:∵A(9,-3,4),B(9,2,1),

=(9,2,1)-(9,-3,4)=(0,5,-3),

∵yOz平面内的向量的一般形式为

∴向量,可得AB∥平面yOz.

故选:C

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题型: 单选题
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单选题

如果直线l的方向向量是,且直线l上有一点P不在平面α上,平面α的法向量是,那么(  )

Al⊥α

Bl∥α

Cl⊂α

Dl与α斜交

正确答案

B

解析

解:∵直线l的方向向量是,平面α的法向量是

=-4+0+4=0

∴直线l在平面α内或者与平面平行

又直线l上有一点P不在平面α上,

∴l∥α

故选B

下一知识点 : 用向量方法解决线线、线面、面面的夹角问题
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