热门试卷

（1）参考解析；（2）；（3），

试题分析：（1）根据题意，由于三角形ABE是等边三角形，所以以线段AB的中点为坐标原点建立空间直角坐标系.写出相应点的坐标，表示出向量AB与向量DE，并求出两个向量的数量积为零，所以两个向量垂直，及对应的两条直线垂直.

（2）平面与平面垂直关键是求出两个平面的法向量，再根据法向量的夹角的余弦值的绝对值等于锐二面角的余弦值.

（3）用待定系数的方法，假设存在该点Q，要满足平面，只需要向量PQ，与平面内任一两条直线所对应的向量的数量积为零即可，从而求出点Q的坐标即线段PQ的长.

试题解析：（1）证明：取中点，连结，

因为△是正三角形，所以.

因为四边形是直角梯形，，，

所以四边形是平行四边形，，

又，所以 .

所以平面，

所以.

（2）解：因为平面平面，

，所以平面，

所以.

如图所示，以为原点建立空间直角坐标系.

则，，，，.

所以 ,，

设平面的法向量为，则

，

令，则,.所以.

同理求得平面的法向量为，设平面与平面所成的锐二面角为，则

.

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为.

（3）解：设，因为，

所以，,.

依题意即

解得 ，.

符合点在三角形内的条件.

所以，存在点，使平面，此时.

（1）参考解析；（2）

试题分析：（1）直线与平面垂直的证明，对于理科生来说主要是以建立空间直角坐标系为主要方法，所以根据题意建立坐标系后，写出相应的点的坐标.根据向量证明向量与平面内的两个相交向量的数量积为零即可.

（2）证明直线与平面所成的角的正弦值，主要是通过求出平面的法向量与该直线的夹角的余弦值，再通过两角的互余关系转化为正弦值.

试题解析：（1）证明:因为是直三棱柱，

所以，

又，

即.

如图所示，建立空间直角坐标系.

,,,，

所以 ，，

.

又因为 ，，

所以 ，，平面.

（2）解：由（1）知，是平面的法向量，

，

则 .

设直线与平面所成的角为， 则.

所以直线与平面所成角的正弦值为.

（1）证明详见解析；（2）.

试题分析：这是一道应用空间向量解决空间平行与空间角问题的试题.（1）先确定、、的坐标，然后设出平面的一个法向量为，由确定的一个取值，最后验证，即可作出平面的判断；（2）先找到的一个法向量为，然后计算，最后结合图形，确定二面角的余弦值是，还是.

试题解析：由题设知：在中，

、、、  4分

（1）    5分

，    6分

设平面的一个法向量为

则

令，得    8分

∵

∴平面           10分

（2）由（1）得平面的法向量，平面的一个法向量为   12分

设二面角的平面角为，则

即二面角的余弦值为           14分.

（1）见解析（2）1

(1)证明:设AD＝1，则DQ＝，DP＝2，又∵PD∥QA，∴∠PDQ＝∠AQD＝45°，在△DPQ中，由余弦定理可得PQ＝.

∴DQ2＋PQ2＝DP2，∴PQ⊥DQ，又∵PD⊥平面ABCD，∴PD⊥DC，∵CD⊥DA，DA∩PD＝D，∴CD⊥平面ADPQ.∵PQ⊂平面ADPQ，∴CD⊥PQ，又∵CD∩DQ＝D，∴PQ⊥平面DCQ.又PQ⊂平面PQC，所以平面PQC⊥平面DCQ.

(2)解　如图，以D为坐标原点，DA，DP，DC所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系D-xyz.

设AD＝1，AB＝m(m>0)．

依题意有D(0,0,0)，C(0,0，m)，P(0,2,0)，Q(1,1,0)，B(1,0，m)，则＝(1,0,0)，＝(－1,2，－m)，＝(1，－1,0)，

设n1＝(x1，y1，z1)是平面PBC的法向量，则即

因此可取n1＝(0，m,2)．

设n2＝(x2，y2，z2)是平面PBQ的法向量，则即

可取n2＝(m，m,1)．

又∵二面角Q-BP-C的余弦值为－，∴|cos 〈n1，n2〉|＝|－|.

∴＝，整理得m4＋7m2－8＝0.

又∵m>0，解得m＝1.因此，所求的值为1